题目描述
思路解析动画文字版
记住一条公式：区间 [i,j] 的和 = pre[j+1] − pre[i]。pre[k] 是「前 k 个数的和」，预处理一次，查询全靠它。
先给前缀和表放一条 pre[0]=0：还没取任何数时，和是 0。这条是后面减法能对齐的关键。
指针走到下标 0，这一格是 2。把它加到上一个前缀和上，得到新的前缀和。
pre[1] = 前一个前缀和 0 加上 2，等于 2（高亮那行就是刚算出的）。
指针走到下标 1，这一格是 4。把它加到上一个前缀和上，得到新的前缀和。
pre[2] = 前一个前缀和 2 加上 4，等于 6（高亮那行就是刚算出的）。
指针走到下标 2，这一格是 1。把它加到上一个前缀和上，得到新的前缀和。
pre[3] = 前一个前缀和 6 加上 1，等于 7（高亮那行就是刚算出的）。
指针走到下标 3，这一格是 3。把它加到上一个前缀和上，得到新的前缀和。
pre[4] = 前一个前缀和 7 加上 3，等于 10（高亮那行就是刚算出的）。
指针走到下标 4，这一格是 5。把它加到上一个前缀和上，得到新的前缀和。
pre[5] = 前一个前缀和 10 加上 5，等于 15（高亮那行就是刚算出的）。
扫一遍就把前缀和全建好了：pre=[0,2,6,7,10,15]。从现在起，任何区间查询都靠它做一次减法。
来了一个查询 sumRange(1, 3)：求绿色高亮这一段（下标 1 到 3）的和。
套公式：这段的和 = 前 4 个之和 减 前 1 个之和 = pre[4] − pre[1] = 10 − 2。
10 减 2 等于 8。整段不用逐个相加，一次减法就得到答案 8。
来了一个查询 sumRange(0, 4)：求绿色高亮这一段（下标 0 到 4）的和。
套公式：这段的和 = 前 5 个之和 减 前 0 个之和 = pre[5] − pre[0] = 15 − 0。
15 减 0 等于 15。整段不用逐个相加，一次减法就得到答案 15。
来了一个查询 sumRange(2, 4)：求绿色高亮这一段（下标 2 到 4）的和。
套公式：这段的和 = 前 5 个之和 减 前 2 个之和 = pre[5] − pre[2] = 15 − 6。
15 减 6 等于 9。整段不用逐个相加，一次减法就得到答案 9。
三个边界：整段、单元素、含负数——前缀和公式都不用改。
三个高频追问：为何是 O(1)、带修改怎么办、二维如何推广。
参考代码
class NumArray: def __init__(self, nums): self.pre = [0] # pre[0] = 0 for x in nums: # 预处理前缀和 self.pre.append(self.pre[-1] + x) def sumRange(self, i, j): return self.pre[j+1] - self.pre[i] # 一次减法复杂度
- 预处理：O(n)，建前缀和数组，把数组扫一遍
- 单次查询：O(1)，只做一次减法 pre[j+1] − pre[i]
- 空间：O(n)，多存一个长度 n+1 的前缀和数组
易错点
面试追问把动画讲成自己的话
追问前缀和为什么能把查询从 O(n) 降到 O(1)？
追问如果数组会被修改（某个元素变了）还能用前缀和吗？
追问二维版本怎么做？
这道题到这就讲完了。动画和文字是同一套思路——别光看，关掉页面自己默写一遍。然后顺着主线继续：
寻找数组的中心下标
LeetCode 724 · 简单 · 沿着 前缀和套路 继续往下推进
把这道题真正学会，再走
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