题目描述
思路解析动画文字版
记住两件事：① 反复求数位平方和往下走；② 用 seen 记住走过的数，撞见重复就是死循环。下面先演一个快乐的，再演一个不快乐的。
A · 起点 n = 7：先看一个快乐的例子：从 7 开始。下面这串是它将要走过的链，seen 集合现在还是空的。
A · 处理 7：指针停在 7。先在 seen 里查 7——没见过，把它记进 seen，接着算它的各数位平方和。
A · 7 → 49：算 7 的数位平方和：7² = 49 = 49。下一个数是 49，指针往后挪一格继续。
A · 处理 49：指针停在 49。先在 seen 里查 49——没见过，把它记进 seen，接着算它的各数位平方和。
A · 49 → 97：算 49 的数位平方和：4² + 9² = 16 + 81 = 97。下一个数是 97，指针往后挪一格继续。
A · 处理 97：指针停在 97。先在 seen 里查 97——没见过，把它记进 seen，接着算它的各数位平方和。
A · 97 → 130：算 97 的数位平方和：9² + 7² = 81 + 49 = 130。下一个数是 130，指针往后挪一格继续。
A · 处理 130：指针停在 130。先在 seen 里查 130——没见过，把它记进 seen，接着算它的各数位平方和。
A · 130 → 10：算 130 的数位平方和：1² + 3² + 0² = 1 + 9 + 0 = 10。下一个数是 10，指针往后挪一格继续。
A · 处理 10：指针停在 10。先在 seen 里查 10——没见过，把它记进 seen，接着算它的各数位平方和。
A · 10 → 1：算 10 的数位平方和：1² + 0² = 1 + 0 = 1。下一个数是 1，指针往后挪一格继续。
A · 走到 1，快乐数：链一路走到了 1。到 1 就停下，7 是快乐数，返回 true。
B · 换个起点 n = 2：再看一个不快乐的例子：从 2 开始。这串链最后会绕回一个见过的数——那就是死循环的信号。
B · 处理 2：指针停在 2。seen 里没有 2，把它记进去，再算它的各数位平方和。
B · 2 → 4：算 2 的数位平方和：2² = 4 = 4。下一个数是 4，继续往后走。
B · 处理 4：指针停在 4。seen 里没有 4，把它记进去，再算它的各数位平方和。
B · 4 → 16：算 4 的数位平方和：4² = 16 = 16。下一个数是 16，继续往后走。
B · 处理 16：指针停在 16。seen 里没有 16，把它记进去，再算它的各数位平方和。
B · 16 → 37：算 16 的数位平方和：1² + 6² = 1 + 36 = 37。下一个数是 37，继续往后走。
B · 处理 37：指针停在 37。seen 里没有 37，把它记进去，再算它的各数位平方和。
B · 37 → 58：算 37 的数位平方和：3² + 7² = 9 + 49 = 58。下一个数是 58，继续往后走。
B · 处理 58：指针停在 58。seen 里没有 58，把它记进去，再算它的各数位平方和。
B · 58 → 89：算 58 的数位平方和：5² + 8² = 25 + 64 = 89。下一个数是 89，继续往后走。
B · 处理 89：指针停在 89。seen 里没有 89，把它记进去，再算它的各数位平方和。
B · 89 → 145：算 89 的数位平方和：8² + 9² = 64 + 81 = 145。下一个数是 145，继续往后走。
B · 处理 145：指针停在 145。seen 里没有 145，把它记进去，再算它的各数位平方和。
B · 145 → 42：算 145 的数位平方和：1² + 4² + 5² = 1 + 16 + 25 = 42。下一个数是 42，继续往后走。
B · 处理 42：指针停在 42。seen 里没有 42，把它记进去，再算它的各数位平方和。
B · 42 → 20：算 42 的数位平方和：4² + 2² = 16 + 4 = 20。下一个数是 20，继续往后走。
B · 处理 20：指针停在 20。seen 里没有 20，把它记进去，再算它的各数位平方和。
B · 20 → 4：算 20 的数位平方和：2² + 0² = 4 + 0 = 4。下一个数是 4，继续往后走。
B · 4 又出现了 → 死循环：轮到 4 时先查 seen——4 早就记过了（绿色那格）！这说明从这里开始会无限绕圈，永远到不了 1，2 不是快乐数，返回 false。
三个高频追问：seen 的必要性、快慢指针的 O(1) 替代法、以及那个唯一的不快乐循环。
参考代码
def isHappy(n): seen = set() # 记录见过的数 while n != 1 and n not in seen: # 没到 1 且没循环就继续 seen.add(n) n = sum(int(d)**2 for d in str(n)) # 各数位平方和 return n == 1 # 停在 1 = 快乐数复杂度
- 时间：O(log n)，几步内数就缩到三位数以内，之后路径长度有上界，整体接近常数级
- 空间：O(log n)，seen 集合最多存下路径上出现过的那些数，数量有限
易错点
面试追问把动画讲成自己的话
追问为什么需要 seen 集合，去掉行不行？
追问除了 seen 集合，还有别的判循环方法吗？
追问所有不快乐的数最后都会进同一个循环吗？
这道题到这就讲完了。动画和文字是同一套思路——别光看，关掉页面自己默写一遍。然后顺着主线继续：
加一
LeetCode 66 · 简单 · 沿着 数学 & 几何 继续往下推进
把这道题真正学会，再走
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