题目描述
思路解析
一句话答案：LeetCode 48 旋转图像的原地解法是「转置 + 每行反转」两步：先沿主对角线转置，交换 matrix[i][j] 和 matrix[j][i]（j 只从 i+1 扫上三角），再把每一行左右反转，两步叠加恰好等于顺时针旋转 90°。全程只用一个临时变量做交换，时间 O(n²)、空间 O(1)。
旋转图像难在哪：原地这个限制
把 n×n 矩阵顺时针转 90°，如果允许开一个新矩阵，一行公式就完事：新矩阵第 i 行第 j 列放原矩阵第 n-1-j 行第 i 列的值。这道题的全部难度在于「原地」——不许借助第二个二维数组，所有值必须在原矩阵内部腾挪。直接照公式搬会边搬边覆盖还没读的值，所以需要换一种分解方式。
为什么想到转置加反转，而不是硬搬公式
原地做旋转的思路有两条。一条是「四点循环交换」：每次同时转动关于中心对称的四个格子，用一个临时变量倒手，能做但下标推导繁琐、极易写错。另一条更漂亮：把旋转拆成两个各自天然原地的对称操作——转置和行反转。
转置就是沿主对角线（左上到右下）翻折，只需成对交换 matrix[i][j] 和 matrix[j][i]；行反转就是一行内首尾向中间逐对交换。两个操作都只涉及「一对格子互换」，一个临时变量就够，没有任何覆盖风险。难写的旋转被换成了两个不会错的翻转，这就是这个解法的价值。
为什么转置加每行反转恰好等于顺时针旋转 90 度
盯住一行看：顺时针转 90° 后，新矩阵的第 i 行等于原矩阵的第 i 列「从下往上」读。转置正好把原来的第 i 列搬成第 i 行，但顺序是「从上往下」的；再把这一行左右反转，顺序就倒成「从下往上」——与旋转的结果逐格吻合。两步各管一半：转置负责行列互换，反转负责调正方向，缺一不可。只做转置得到的是沿对角线的镜像翻折，不是旋转。
转置的循环为什么 j 要从 i+1 开始
转置是「成对」交换，每一对只能换一次。如果 j 从 0 扫到 n-1，格子 (i,j) 和 (j,i) 会先后各触发一次交换，换了又换回去，矩阵原封不动——这是本题最经典的隐形 bug，程序不报错、结果全错。让 j 从 i+1 开始，只扫主对角线上方的上三角，每对恰好处理一次；对角线上的格子转置后位置不变，天然跳过。
复杂度多少，逆时针又该怎么转
时间 O(n²)：转置扫上三角约 n²/2 对，行反转再扫约 n²/2 对，每个格子只被碰常数次。空间 O(1)：除了交换用的临时变量，不占任何额外存储，这正是题目要的原地修改。
方向问题值得单独记一下：顺时针 90° = 转置后反转每一行；逆时针 90° = 先反转每一行再转置（或转置后反转每一列）。两步的顺序或反转对象一换，旋转方向就反了——面试写完可以拿左上角那个元素心算一步验方向，防止顺逆记反。
▶ 动画逐步走查（文字版）——想跟着上方动画一帧帧对照就展开
记住这条恒等式：转置 + 每行反转 = 顺时针 90°。下面一对一对地交换给你看。
第一步「转置」：沿主对角线（左上→右下，绿色那条）把矩阵翻折，对角线上的格子原地不动，只交换它两侧对称的格子 matrix[i][j] ↔ matrix[j][i]。
交换第 1 对：matrix[0][1]=5 和 matrix[1][0]=2 互换（它们关于主对角线对称）。换完这两格的值就对调了。
交换第 2 对：matrix[0][2]=9 和 matrix[2][0]=3 互换（它们关于主对角线对称）。换完这两格的值就对调了。
交换第 3 对：matrix[0][3]=13 和 matrix[3][0]=4 互换（它们关于主对角线对称）。换完这两格的值就对调了。
交换第 4 对：matrix[1][2]=10 和 matrix[2][1]=7 互换（它们关于主对角线对称）。换完这两格的值就对调了。
交换第 5 对：matrix[1][3]=14 和 matrix[3][1]=8 互换（它们关于主对角线对称）。换完这两格的值就对调了。
交换第 6 对：matrix[2][3]=15 和 matrix[3][2]=12 互换（它们关于主对角线对称）。换完这两格的值就对调了。
转置完成：现在每个 matrix[i][j] 都和原来的 matrix[j][i] 换好了位置。但这还不是最终答案——观察会发现每一行的顺序是反的，需要第二步把每行左右翻过来。
开始反转第 0 行：把这一行首尾向中间逐对交换（matrix[0][左] ↔ matrix[0][右]）。反转后这一行就落到最终旋转位置了。
第 0 行：列 0 的 1 和 列 3 的 13 互换。每交换一对，这一行就向「左右翻转」前进一步。
第 0 行：列 1 的 5 和 列 2 的 9 互换。每交换一对，这一行就向「左右翻转」前进一步。
开始反转第 1 行：把这一行首尾向中间逐对交换（matrix[1][左] ↔ matrix[1][右]）。反转后这一行就落到最终旋转位置了。
第 1 行：列 0 的 2 和 列 3 的 14 互换。每交换一对，这一行就向「左右翻转」前进一步。
第 1 行：列 1 的 6 和 列 2 的 10 互换。每交换一对，这一行就向「左右翻转」前进一步。
开始反转第 2 行：把这一行首尾向中间逐对交换（matrix[2][左] ↔ matrix[2][右]）。反转后这一行就落到最终旋转位置了。
第 2 行：列 0 的 3 和 列 3 的 15 互换。每交换一对，这一行就向「左右翻转」前进一步。
第 2 行：列 1 的 7 和 列 2 的 11 互换。每交换一对，这一行就向「左右翻转」前进一步。
开始反转第 3 行：把这一行首尾向中间逐对交换（matrix[3][左] ↔ matrix[3][右]）。反转后这一行就落到最终旋转位置了。
第 3 行：列 0 的 4 和 列 3 的 16 互换。每交换一对，这一行就向「左右翻转」前进一步。
第 3 行：列 1 的 8 和 列 2 的 12 互换。每交换一对，这一行就向「左右翻转」前进一步。
全部完成！转置（6 对）+ 每行反转（8 对）共 14 次原地交换后，矩阵就顺时针旋转了 90°，且没有用到任何额外矩阵——这就是原地旋转。
n=1 是天然的恒等情形，不需要特判。
理解了「转置=行列对调、反转=补上方向」，正反两个方向都能现推。
参考代码
def rotate(matrix): n = len(matrix) # ① 沿主对角线转置：matrix[i][j] <-> matrix[j][i] for i in range(n): for j in range(i + 1, n): matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j] # ② 每一行左右反转 for row in matrix: row.reverse()复杂度
- 时间：O(n²)，转置和反转各扫一遍矩阵，共约 n² 次操作
- 空间：O(1)，只用一个临时变量做交换，不开新矩阵
易错点
面试追问把动画讲成自己的话
追问为什么转置 + 每行反转就等于顺时针旋转 90°？
追问如果要逆时针旋转 90° 怎么改？
这道题到这就讲完了。动画和文字是同一套思路——别光看，关掉页面自己默写一遍。然后顺着主线继续：
螺旋矩阵
LeetCode 54 · 中等 · 沿着 数学 & 几何 继续往下推进
把这道题真正学会，再走
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