旋转图像 图解题解

旋转图像难在哪：原地这个限制

把 n×n 矩阵顺时针转 90°，如果允许开一个新矩阵，一行公式就完事：新矩阵第 i 行第 j 列放原矩阵第 n-1-j 行第 i 列的值。这道题的全部难度在于「原地」——不许借助第二个二维数组，所有值必须在原矩阵内部腾挪。直接照公式搬会边搬边覆盖还没读的值，所以需要换一种分解方式。

为什么想到转置加反转，而不是硬搬公式

原地做旋转的思路有两条。一条是「四点循环交换」：每次同时转动关于中心对称的四个格子，用一个临时变量倒手，能做但下标推导繁琐、极易写错。另一条更漂亮：把旋转拆成两个各自天然原地的对称操作——转置和行反转。

转置就是沿主对角线（左上到右下）翻折，只需成对交换 matrix[i][j] 和 matrix[j][i]；行反转就是一行内首尾向中间逐对交换。两个操作都只涉及「一对格子互换」，一个临时变量就够，没有任何覆盖风险。难写的旋转被换成了两个不会错的翻转，这就是这个解法的价值。

为什么转置加每行反转恰好等于顺时针旋转 90 度

盯住一行看：顺时针转 90° 后，新矩阵的第 i 行等于原矩阵的第 i 列「从下往上」读。转置正好把原来的第 i 列搬成第 i 行，但顺序是「从上往下」的；再把这一行左右反转，顺序就倒成「从下往上」——与旋转的结果逐格吻合。两步各管一半：转置负责行列互换，反转负责调正方向，缺一不可。只做转置得到的是沿对角线的镜像翻折，不是旋转。

转置的循环为什么 j 要从 i+1 开始

转置是「成对」交换，每一对只能换一次。如果 j 从 0 扫到 n-1，格子 (i,j) 和 (j,i) 会先后各触发一次交换，换了又换回去，矩阵原封不动——这是本题最经典的隐形 bug，程序不报错、结果全错。让 j 从 i+1 开始，只扫主对角线上方的上三角，每对恰好处理一次；对角线上的格子转置后位置不变，天然跳过。

复杂度多少，逆时针又该怎么转

时间 O(n²)：转置扫上三角约 n²/2 对，行反转再扫约 n²/2 对，每个格子只被碰常数次。空间 O(1)：除了交换用的临时变量，不占任何额外存储，这正是题目要的原地修改。

方向问题值得单独记一下：顺时针 90° = 转置后反转每一行；逆时针 90° = 先反转每一行再转置（或转置后反转每一列）。两步的顺序或反转对象一换，旋转方向就反了——面试写完可以拿左上角那个元素心算一步验方向，防止顺逆记反。

Python

def rotate(matrix):
    n = len(matrix)
    # ① 沿主对角线转置：matrix[i][j] <-> matrix[j][i]
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]
    # ② 每一行左右反转
    for row in matrix:
        row.reverse()

C++

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();
        // ① 转置
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = i + 1; j < n; j++)
                swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);
        // ② 每行反转
        for (int i = 0; i < n; i++)
            reverse(matrix[i].begin(), matrix[i].end());
    }
};

Java

class Solution {
    public void rotate(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        // ① 沿主对角线转置
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                int t = matrix[i][j];
                matrix[i][j] = matrix[j][i];
                matrix[j][i] = t;
            }
        }
        // ② 每一行左右反转
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int lo = 0, hi = n - 1;
            while (lo < hi) {
                int t = matrix[i][lo];
                matrix[i][lo] = matrix[i][hi];
                matrix[i][hi] = t;
                lo++; hi--;
            }
        }
    }