两整数之和

核心三句话：① 异或得到「不考虑进位时每一位的和」；② 与之后左移得到「该往高位进的 1」；③ 把进位不断加回去，没有进位时 a 就是答案。下面逐轮套这条规则。

把 a=23、b=45 写成 7 位二进制（高位在左，不足补 0）。下面两行「无进位和」「进位」待算，整张表 4 行 × 7 列，维度从头到尾不变。

第 1 轮开始。现在 a=23、b=45（紫色两行）。接下来逐位看：每一位上 a、b 的两个比特要做两件事——异或得本位、与得进位。

异或 a^b：每一位「相同得 0、不同得 1」，这正是不考虑进位时该位的和。得到无进位和 = 0111010 = 58（绿色行）。但两个 1 相加该进位的事还没算。

与 a&b：只有「两位都是 1」的位才得 1，那正是要进位的位（0000101）。进位要进到更高一位，所以左移一位 << 1，得进位 = 0001010 = 10（紫色行）。

把无进位和与进位当成新的 a、b：a ← 58、b ← 10。进位还不是 0，说明还有 1 要往上进，回到第 2 轮继续加。

第 2 轮开始。现在 a=58、b=10（紫色两行）。接下来逐位看：每一位上 a、b 的两个比特要做两件事——异或得本位、与得进位。

异或 a^b：每一位「相同得 0、不同得 1」，这正是不考虑进位时该位的和。得到无进位和 = 0110000 = 48（绿色行）。但两个 1 相加该进位的事还没算。

与 a&b：只有「两位都是 1」的位才得 1，那正是要进位的位（0001010）。进位要进到更高一位，所以左移一位 << 1，得进位 = 0010100 = 20（紫色行）。

把无进位和与进位当成新的 a、b：a ← 48、b ← 20。进位还不是 0，说明还有 1 要往上进，回到第 3 轮继续加。

第 3 轮开始。现在 a=48、b=20（紫色两行）。接下来逐位看：每一位上 a、b 的两个比特要做两件事——异或得本位、与得进位。

异或 a^b：每一位「相同得 0、不同得 1」，这正是不考虑进位时该位的和。得到无进位和 = 0100100 = 36（绿色行）。但两个 1 相加该进位的事还没算。

与 a&b：只有「两位都是 1」的位才得 1，那正是要进位的位（0010000）。进位要进到更高一位，所以左移一位 << 1，得进位 = 0100000 = 32（紫色行）。

把无进位和与进位当成新的 a、b：a ← 36、b ← 32。进位还不是 0，说明还有 1 要往上进，回到第 4 轮继续加。

第 4 轮开始。现在 a=36、b=32（紫色两行）。接下来逐位看：每一位上 a、b 的两个比特要做两件事——异或得本位、与得进位。

异或 a^b：每一位「相同得 0、不同得 1」，这正是不考虑进位时该位的和。得到无进位和 = 0000100 = 4（绿色行）。但两个 1 相加该进位的事还没算。

与 a&b：只有「两位都是 1」的位才得 1，那正是要进位的位（0100000）。进位要进到更高一位，所以左移一位 << 1，得进位 = 1000000 = 64（紫色行）。

把无进位和与进位当成新的 a、b：a ← 4、b ← 64。进位还不是 0，说明还有 1 要往上进，回到第 5 轮继续加。

第 5 轮开始。现在 a=4、b=64（紫色两行）。接下来逐位看：每一位上 a、b 的两个比特要做两件事——异或得本位、与得进位。

异或 a^b：每一位「相同得 0、不同得 1」，这正是不考虑进位时该位的和。得到无进位和 = 1000100 = 68（绿色行）。但两个 1 相加该进位的事还没算。

与 a&b：只有「两位都是 1」的位才得 1，那正是要进位的位（0000000）。进位要进到更高一位，所以左移一位 << 1，得进位 = 0000000 = 0（紫色行）。

进位 = 0 了！没有要进的位，循环结束。此时 a = 68 = 1000100 就是最终答案。23 + 45 = 68。

进位归零后 a 就是和：23 + 45 = 68。整个过程只用了异或 ^、与 &、左移 << 三种位运算，一次没用 +。

含 0 与负数的边界先想清。

两个高频追问，把「为什么对、为什么停」讲透。