§1

题目描述

动态加入点，查询和给定点组成轴对齐正方形的数量。

示例 = add([3,10]), add([11,2]), add([11,10]), count([3,2]) → 1

§2

思路解析动画文字版

枚举所有三点组合太慢。

把点计数存起来；查询时枚举对角点，另外两个角由坐标直接确定。

① 以查询点 (3,2) 为一角，数轴对齐正方形：count([3,2])：把查询点当正方形的一个角，枚举「对角点」，看能凑出多少个轴对齐正方形。

② 枚举对角点：需 |Δx|==|Δy| 且 ≠ 0：遍历已加入的点当对角点：(3,10) Δx=0 同列跳过；(11,2) Δx≠Δy 跳过；(11,10) Δx=8==Δy=8 且非 0 → 合法对角点。

③ 对角点 (11,10) 定了 → 另两角 (11,2)、(3,10)：对角点 (11,10) 一确定，正方形另外两角就是 (对角x,查询y)=(11,2) 和 (查询x,对角y)=(3,10)。

④ 三个角都存在 → 方案数＝出现次数相乘：对角点 + 两邻角都在 map 里 → 这种正方形的个数＝三点出现次数的乘积＝ 1×1×1 ＝ 1。

⑤ 累加所有合法对角点 → count([3,2]) ＝ 1：对每个合法对角点的乘积求和。本例只有 (11,10) 一个合法对角 → 总数＝ 1。

一句话记住：把点计数存起来；查询时枚举对角点，另外两个角由坐标直接确定。

边界三连：本题真边界：无解、重复点、退化对角。

⑥ 雷区：为何要 Δx==Δy≠0、为何用乘积：① Δx==Δy 保证四边等长(轴对齐正方形)，≠0 排除退化(同点/同线)。② 用乘积是因为同一坐标可能被 add 多次，每个角各有出现次数，组合数 = 三者相乘。枚举对角点天然覆盖四个方向，不会重复也不会漏。

面试追问 · 核心思路：思路：Counter 存点；count 枚举对角点，另两角乘积累加。

面试追问 · 为何枚举对角点：对角点定一个正方形，O(n) 枚举；枚举边对要 O(n²)。

面试追问 · 复杂度：复杂度：add O(1)，count O(n)，空间 O(n)。

这题学完不要乱跳，下一步去对应专题 /leetcode-animation/ds?k=math 连刷同类题；卡住时用 AI 答疑问“为什么枚举对角点就够”。

§3

参考代码

class DetectSquares:    def __init__(self):        from collections import Counter        self.points = Counter()    def add(self, point):        self.points[tuple(point)] += 1    def count(self, point):        x, y = point        ans = 0        for (px, py), cnt in self.points.items():            if px == x or abs(px - x) != abs(py - y):       # 同列跳过 + 等边长                continue            ans += cnt * self.points[(x, py)] * self.points[(px, y)]        return ans

看懂代码不等于写得出。盖住上面，自己默写一遍试试。卡在哪一行说不清，就点右下角问小欧。

§4

复杂度

时间复杂度：add O(1) / count O(n)，add 计数 O(1)；count 遍历所有不同点找对角
空间复杂度：O(n)，Counter 存所有加入过的点

§5

可套用的代码模板

记牢：Counter 存点 → 枚举对角点(|Δx|==|Δy|≠0) → 另两角次数相乘累加。

Python

# 检测正方形（枚举对角点）骨架points = Counter()def add(p): points[tuple(p)] += 1def count(x, y):    ans = 0    for (px, py), c in points.items():        # 枚举对角点        if abs(px-x) != abs(py-y) or px == x: continue   # 等边长且非退化        ans += c * points[(px, y)] * points[(x, py)]      # 另两角乘积    return ans

§6

易错点

✗ 错误写法：枚举对角点时漏判 Δx ≠ 0

✓ 正确写法：必须 |Δx|==|Δy| 且 ≠ 0

Δx=0 是同列(退化成线)、同点距离0，都不是正方形；要严格相等的非零边长。

✗ 错误写法：用列表存点、count 时去重

✓ 正确写法：用 Counter 计数，乘积统计重复点

同一坐标可能 add 多次，每个角的出现次数都要计入乘积。

✗ 错误写法：枚举正方形的边(两两配对) O(n²)

✓ 正确写法：枚举对角点 O(n)，另两角直接算出

对角点一定后正方形唯一确定，O(n) 即可，比枚举边对快。

面试追问把动画讲成自己的话

追问整体思路是什么？

用 Counter 记每个坐标出现次数。add 直接 +1。count(x,y)：遍历所有已存点当「对角点」(px,py)，若 |px−x|==|py−y| 且 ≠0，则另两角是 (px,y) 和 (x,py)，把 cnt(px,py)×cnt(px,y)×cnt(x,py) 累加进答案。

这道题到这就讲完了。动画和文字是同一套思路——别光看，关掉页面自己默写一遍。然后顺着主线继续：

下一题 · 数学 & 几何 9/9

回文数

LeetCode 9 · 简单 · 沿着数学 & 几何继续往下推进

→

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class DetectSquares: def __init__(self): from collections import Counter self.points = Counter() def add(self, point): self.points[tuple(point)] += 1 def count(self, point): x, y = point ans = 0 for (px, py), cnt in self.points.items(): if px == x or abs(px - x) != abs(py - y): # 同列跳过 + 等边长 continue ans += cnt * self.points[(x, py)] * self.points[(px, y)] return ans

# 检测正方形（枚举对角点）骨架points = Counter()def add(p): points[tuple(p)] += 1def count(x, y): ans = 0 for (px, py), c in points.items(): # 枚举对角点 if abs(px-x) != abs(py-y) or px == x: continue # 等边长且非退化 ans += c * points[(px, y)] * points[(x, py)] # 另两角乘积 return ans