灯泡开关

核心：切换次数 = 约数个数；只有完全平方数的约数个数是奇数，所以最后亮的就是平方数位置，共 ⌊√n⌋ 盏。

开始之前：9 盏灯全部是关着的，格子里写 0 表示灭、1 表示亮。

第 1 轮，要切换的是 1 的倍数：第 1、2、3、4、5、6、7、8、9 盏灯（绿色标出）。切换就是亮↔灭翻一下。

翻转后：第 1、2、3、4、5、6、7、8、9 盏灯各自亮灭互换了一次，现在亮着 9 盏。

第 2 轮，要切换的是 2 的倍数：第 2、4、6、8 盏灯（绿色标出）。切换就是亮↔灭翻一下。

翻转后：第 2、4、6、8 盏灯各自亮灭互换了一次，现在亮着 5 盏。

第 3 轮，要切换的是 3 的倍数：第 3、6、9 盏灯（绿色标出）。切换就是亮↔灭翻一下。

翻转后：第 3、6、9 盏灯各自亮灭互换了一次，现在亮着 4 盏。

第 4 轮，要切换的是 4 的倍数：第 4、8 盏灯（绿色标出）。切换就是亮↔灭翻一下。

翻转后：第 4、8 盏灯各自亮灭互换了一次，现在亮着 6 盏。

第 5 轮，要切换的是 5 的倍数：第 5 盏灯（绿色标出）。切换就是亮↔灭翻一下。

翻转后：第 5 盏灯各自亮灭互换了一次，现在亮着 5 盏。

第 6 轮，要切换的是 6 的倍数：第 6 盏灯（绿色标出）。切换就是亮↔灭翻一下。

翻转后：第 6 盏灯各自亮灭互换了一次，现在亮着 4 盏。

第 7 轮，要切换的是 7 的倍数：第 7 盏灯（绿色标出）。切换就是亮↔灭翻一下。

翻转后：第 7 盏灯各自亮灭互换了一次，现在亮着 3 盏。

第 8 轮，要切换的是 8 的倍数：第 8 盏灯（绿色标出）。切换就是亮↔灭翻一下。

翻转后：第 8 盏灯各自亮灭互换了一次，现在亮着 2 盏。

第 9 轮，要切换的是 9 的倍数：第 9 盏灯（绿色标出）。切换就是亮↔灭翻一下。

翻转后：第 9 盏灯各自亮灭互换了一次，现在亮着 3 盏。

9 轮结束，最后亮的是第 1、4、9 盏，恰好是 1²、2²、3²。它们的约数个数是奇数，所以被切了奇数次还亮着，共 3 盏 = ⌊√9⌋。

三个高频追问：切换次数=约数个数、平方数约数为奇、以及大 n 下为何必须用 O(1) 公式。