买卖股票的最佳时机 IV

下面 15 步动画会按主解代码推进，而不是泛泛讲题型。

1. 状态定义：最多 k=2 笔交易。对每笔 t 维护两态：buy[t]=已买入(持股)时最大收益、sell[t]=已卖出(空仓)时最大收益。表的 6 列是 6 天价格，4 行是 buy1/sell1/buy2/sell2。

2. 初值：开局还没买任何股票：buy1=buy2=-∞(非法持仓)，sell1=sell2=0(没交易就是 0 收益)。哨兵 sell[0]=0 表示“做第 1 笔买入前的本金”。

3. d0 价=3 · 第 1 笔买入：第 0 天价 3。若此刻做第 1 笔买入：手里现金从 sell0=0 减去 3，得 buy1=-3。卖出态没法更新(还没买出)，sell1 仍为 0。

4. d0 价=3 · 第 2 笔买入：第 2 笔买入依赖 sell1=0(第 1 笔已卖完的现金)。buy2 = 0 - 3 = -3，sell2 仍是 0。第 0 天处理完。

5. d1 价=2 · 更便宜, 买入更划算：第 1 天价 2，比第 0 天便宜。改成在这天买入更省：buy1 由 -3 抬到 -2，buy2 同样抬到 -2。两个卖出态还没遇到更高价，sell1=sell2=0 不变。

6. d2 价=6 · 第 1 笔卖出获利：第 2 天价 6。第 1 笔在价 2 买入、价 6 卖出：sell1 = buy1+6 = -2+6 = 4，第一笔利润锁定 4。buy1 维持 -2(更便宜的买点已记下)。

7. d2 价=6 · 第 2 笔接力卖出：第 2 笔此刻也可卖：sell2 = buy2+6 = -2+6 = 4。当前两笔都只用上了第一段行情，sell2 暂时也是 4。第 2 天处理完。

8. d3 价=5 · 第 2 笔买点再压低：第 3 天价 5。第 2 笔可以拿第 1 笔利润 sell1=4 当本金再买：4-5=-1，比原来的 -2 更高，buy2 升到 -1。这一步把“先赚一笔再投入”记进了状态。buy1/sell1/sell2 此刻无更优，保持不变。

9. d4 价=0 · 极低价, 两笔买点都刷新：第 4 天价 0(白送)。第 1 笔在这买几乎不花钱：buy1=0。第 2 笔用 sell1=4 的利润 0 成本买入：buy2 = 4-0 = 4。两个卖出态没更高价可卖，sell1=sell2=4 不变。

10. d5 价=3 · 第 1 笔尝试卖出：第 5 天价 3。第 1 笔若在价 0 买、价 3 卖只赚 3，不如已有的 sell1=4(价2买价6卖)。max 取大，sell1 保持 4。buy1 也无更优，仍 0。

11. d5 价=3 · 第 2 笔卖出, 答案诞生：第 2 笔买在价 0(buy2=4 含了第一笔利润)、卖在价 3：sell2 = buy2+3 = 4+3 = 7，比原来的 4 高。这正是“价2买价6卖赚4 + 价0买价3卖赚3”两笔合计 7。

12. 读出答案：全部 6 天扫完。答案 = 最多 2 笔、最后空仓的最大收益 = sell2 = 7。注意取 sell[k] 而非 sell[k-1]：用满 2 笔不会比用 1 笔差(多一笔随时可选择不买)。

13. 为什么是 buy[t] 依赖 sell[t-1]：关键链路：buy2 用 sell1 当本金(蓝格 sell1=4 → 橙格 buy2 在 d3 升到 -1)。这条 sell[t-1]→buy[t] 的依赖天然保证“买下一笔前必须先卖掉上一笔”，不会同时持多仓。

14. 边界: k 很大时退化为无限交易：当 k 大到 2k 超过天数(k ≥ n/2)，交易次数其实不再是限制，等价于“能买卖无限次”。这时直接累加所有相邻上涨差即可，省去开 2k 个状态，避免 k 过大时空间爆炸。

15. 复杂度与本质：外层 n 天、内层 k 笔，时间 O(n·k)；buy/sell 各 k+1 长，空间 O(k)。本题是“限定交易次数”的状态机 DP 模板：每多一个约束就多开一维状态(这里是交易笔数 t)。最终答案 sell2 = 7。

记住这题的代码骨架：题意约束先落到状态变量，再用循环或递归维护它。