题目描述
思路解析
一句话答案：LeetCode 238 除自身以外数组的乘积在禁用除法的前提下，标准解是前后缀乘积两遍扫描：answer[i] 恰好等于 i 左边所有数的积乘以右边所有数的积，第一遍从左到右把左前缀积写进答案数组，第二遍从右到左用一个变量滚动右后缀积再乘上去，时间 O(n)、额外空间 O(1)。
这道题真正在问什么
给数组 nums，返回同长数组 answer，answer[i] 等于除 nums[i] 之外所有元素的乘积，比如 [1,2,3,4] 的答案是 [24,12,8,6]。题目附加两条硬约束：不许用除法、时间必须 O(n)。这两条约束就是解法的路标——它们把最省事的那条路堵死，逼你去找乘法本身的结构。
为什么全积除以自己走不通
最诱人的做法是先算全体乘积 total，再让每个位置等于 total / nums[i]，一遍就完。但题目明说禁止除法；就算允许，这条路也有真实的坑：数组里只要有一个 0，total 就是 0，所有非零位置都会被算成 0；有两个以上 0 时更是全盘皆 0，必须层层特判。除法方案的脆弱反过来提示我们：得直接「凑」出其余元素的积，而不是「除」出来。
关键观察：答案等于左积乘右积
位置 i 除自身以外的元素，天然分成两段：i 左边的所有数、i 右边的所有数。所以 answer[i] 就等于左边一段的积乘以右边一段的积。而「左边一段的积」正是经典的前缀积，从左到右用一个变量一路累乘就能递推出来；「右边一段的积」对称地是后缀积，从右到左递推。两个方向各扫一遍，每个位置的两块拼图就都齐了。边界也很自然：最左位置左边没有数，约定空积为 1，最右位置同理。
为什么两遍扫描只要 O(1) 额外空间
直接开两个数组分别存前缀积和后缀积也能对，但要 O(n) 额外空间。省法是把答案数组本身当工作区：第一遍从左到右维护变量 prefix，先把 prefix 写进 answer[i]，再让 prefix 乘上 nums[i]——「先写后乘」的顺序保证写进去的恰好是不含自己的左积。
第二遍从右到左，用变量 suffix 同样先乘进 answer[i]、再累乘 nums[i]。两遍的不变量一致：走到位置 i 时，prefix（或 suffix）恰好等于 i 左边（或右边）全部元素的积。第二遍方向绝不能又从左往右——方向反了，suffix 积累的就不是右边的数，结果整体错位。
复杂度与容易踩的坑
时间 O(n)：两遍线性扫描，总共约 2n 次乘法。额外空间 O(1)：按惯例输出数组不计入，全程只多用 prefix、suffix 两个标量。最常见的三个错：偷偷用除法（数组含 0 就炸）、第二遍方向写反、以及把「先写答案再累乘」的顺序颠倒，把当前位置自己也乘了进去。
▶ 动画逐步走查（文字版）——想跟着上方动画一帧帧对照就展开
记住这条「答案 = 左边的积 × 右边的积；两遍扫：先存左前缀积，再乘右后缀积，不用除法」，下面每帧都在套它。
第一遍从左往右，处理位置 0。此刻 prefix=1，它正是「0 左边所有数」的乘积（位置 0 左边没有数，约定为 1）。下一帧就把它写进 answer[0]。
把 prefix=1 落进 answer[0]（这是它的左前缀积）。然后把 nums[0]=2 乘进 prefix，得到 2，供下一个位置使用。第一遍结束后，answer 里装的全是「各自的左前缀积」。
第一遍从左往右，处理位置 1。此刻 prefix=2，它正是「1 左边所有数」的乘积（位置 0 左边没有数，约定为 1）。下一帧就把它写进 answer[1]。
把 prefix=2 落进 answer[1]（这是它的左前缀积）。然后把 nums[1]=3 乘进 prefix，得到 6，供下一个位置使用。第一遍结束后，answer 里装的全是「各自的左前缀积」。
第一遍从左往右，处理位置 2。此刻 prefix=6，它正是「2 左边所有数」的乘积（位置 0 左边没有数，约定为 1）。下一帧就把它写进 answer[2]。
把 prefix=6 落进 answer[2]（这是它的左前缀积）。然后把 nums[2]=4 乘进 prefix，得到 24，供下一个位置使用。第一遍结束后，answer 里装的全是「各自的左前缀积」。
第一遍从左往右，处理位置 3。此刻 prefix=24，它正是「3 左边所有数」的乘积（位置 0 左边没有数，约定为 1）。下一帧就把它写进 answer[3]。
把 prefix=24 落进 answer[3]（这是它的左前缀积）。然后把 nums[3]=5 乘进 prefix，得到 120，供下一个位置使用。第一遍结束后，answer 里装的全是「各自的左前缀积」。
第一遍从左往右，处理位置 4。此刻 prefix=120，它正是「4 左边所有数」的乘积（位置 0 左边没有数，约定为 1）。下一帧就把它写进 answer[4]。
把 prefix=120 落进 answer[4]（这是它的左前缀积）。然后把 nums[4]=6 乘进 prefix，得到 720，供下一个位置使用。第一遍结束后，answer 里装的全是「各自的左前缀积」。
第一遍从左往右，处理位置 5。此刻 prefix=720，它正是「5 左边所有数」的乘积（位置 0 左边没有数，约定为 1）。下一帧就把它写进 answer[5]。
把 prefix=720 落进 answer[5]（这是它的左前缀积）。然后把 nums[5]=7 乘进 prefix，得到 5040，供下一个位置使用。第一遍结束后，answer 里装的全是「各自的左前缀积」。
第二遍从右往左，处理位置 5。此刻 suffix=1，是「5 右边所有数」的乘积（最右位置右边没有数，约定为 1）。answer[5] 现在还只是左前缀积 720，下一帧给它乘上右后缀积就补齐了。
answer[5] = 左前缀积 720 × 右后缀积 1 = 720，这就是位置 5 的最终答案。再把 nums[5]=7 乘进 suffix（得 7）留给左边。
第二遍从右往左，处理位置 4。此刻 suffix=7，是「4 右边所有数」的乘积（最右位置右边没有数，约定为 1）。answer[4] 现在还只是左前缀积 120，下一帧给它乘上右后缀积就补齐了。
answer[4] = 左前缀积 120 × 右后缀积 7 = 840，这就是位置 4 的最终答案。再把 nums[4]=6 乘进 suffix（得 42）留给左边。
第二遍从右往左，处理位置 3。此刻 suffix=42，是「3 右边所有数」的乘积（最右位置右边没有数，约定为 1）。answer[3] 现在还只是左前缀积 24，下一帧给它乘上右后缀积就补齐了。
answer[3] = 左前缀积 24 × 右后缀积 42 = 1008，这就是位置 3 的最终答案。再把 nums[3]=5 乘进 suffix（得 210）留给左边。
第二遍从右往左，处理位置 2。此刻 suffix=210，是「2 右边所有数」的乘积（最右位置右边没有数，约定为 1）。answer[2] 现在还只是左前缀积 6，下一帧给它乘上右后缀积就补齐了。
answer[2] = 左前缀积 6 × 右后缀积 210 = 1260，这就是位置 2 的最终答案。再把 nums[2]=4 乘进 suffix（得 840）留给左边。
第二遍从右往左，处理位置 1。此刻 suffix=840，是「1 右边所有数」的乘积（最右位置右边没有数，约定为 1）。answer[1] 现在还只是左前缀积 2，下一帧给它乘上右后缀积就补齐了。
answer[1] = 左前缀积 2 × 右后缀积 840 = 1680，这就是位置 1 的最终答案。再把 nums[1]=3 乘进 suffix（得 2520）留给左边。
第二遍从右往左，处理位置 0。此刻 suffix=2520，是「0 右边所有数」的乘积（最右位置右边没有数，约定为 1）。answer[0] 现在还只是左前缀积 1，下一帧给它乘上右后缀积就补齐了。
answer[0] = 左前缀积 1 × 右后缀积 2520 = 2520，这就是位置 0 的最终答案。再把 nums[0]=2 乘进 suffix（得 5040）留给左边。
两遍扫完，每个位置都等于「左边所有数的积 × 右边所有数的积」：[2520, 1680, 1260, 1008, 840, 720]。全程没用一次除法，只用了 prefix、suffix 两个变量，时间 O(n)、额外空间 O(1)。
边界先想清：数组含 0 时，除法解会除零崩溃，而前后缀积法天然正确。
两个高频追问：除法解的隐患（含 0）与 O(1) 空间的实现。
参考代码
def productExceptSelf(nums): n = len(nums) answer = [1] * n prefix = 1 # 左边所有数的积 for i in range(n): # 第一遍：从左到右 answer[i] = prefix # 先存左前缀积 prefix *= nums[i] suffix = 1 # 右边所有数的积 for i in range(n - 1, -1, -1): # 第二遍：从右到左 answer[i] *= suffix # 再乘右后缀积 suffix *= nums[i] return answer复杂度
- 时间：O(n)，两遍线性扫描，2n 次乘法
- 空间：O(1)，只用 prefix/suffix 两个标量；输出数组不计入额外空间
易错点
面试追问把动画讲成自己的话
追问如果允许用除法，怎么做？有什么风险？
追问能不能只用 O(1) 额外空间（不算输出数组）？
这道题到这就讲完了。动画和文字是同一套思路——别光看，关掉页面自己默写一遍。然后顺着主线继续：
有效的数独
LeetCode 36 · 中等 · 沿着 数组 & 哈希 继续往下推进
把这道题真正学会，再走
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