题目描述
思路解析
一句话答案：LeetCode 447 回旋镖的数量用哈希计数距离：固定每个点当中心，按平方距离把其余点分组，某距离上 m 个点贡献 m×(m−1) 个有序对，时间 O(n²)、空间 O(n)。
平面上一堆点，回旋镖 (i,j,k) 讲顺序怎么数
给平面上 n 个互不相同的点 points，回旋镖是三元组 (i, j, k)，只要求中心点 i 到 j 的距离等于 i 到 k 的距离。三元组讲顺序，(i,j,k) 和 (i,k,j) 算两个不同回旋镖。题面 points=[(1,1),(0,1),(2,1),(1,0),(1,2)] 摆成十字形，答案是 20。
把每个三元组都摆出来验，点一多就跑不动
最直接的想法是三层循环，把每个 (i, j, k) 都列出来，逐个验证 i 到 j、i 到 k 距离是否相等。可 n 个点选三个位置就是 n×n×n 量级，时间 O(n³)；点数到几百上千就慢得没法接受。
回旋镖的相等条件，其实全挂在中心那个点上
回旋镖的约束都写在中心 i 头上：i 到 j 的距离等于 i 到 k 的距离，而 j、k 彼此无关。既然只认中心，就固定一个点当中心，量它到其余各点的距离，把等距的点归为一组。某距离上落了 m 个点，从中讲顺序挑出 j、k 两个就凑成一个回旋镖——有序挑两个共 m×(m−1) 种，不除以 2，因为回旋镖分先后。
分组用一张哈希表记「距离 → 点数」，按距离当键直接取值、查一次几乎不花时间，扫一遍就把每个距离的 m 数清。比距离不必开平方根，直接用平方距离（横纵坐标差的平方之和）当键：浮点小数判相等有精度风险，整数平方又快又不比错。
固定中心、量距离、按组累加，三步怎么走
流程钉死三步：挑一个点当中心；另起一张空表遍历其余各点，算它到中心的平方距离、往对应距离的计数加一；中心量完把每个距离的点数 m 取出，累加 m×(m−1) 到答案。再换下一个点当中心重复。每换一个中心都得另起新表，距离相对当前中心算，沿用旧表会把别人计数混进来。n 个点各当一次中心，贡献全加起来就是回旋镖总数。
五个十字点逐个当中心，各贡献多少
先让 (1,1) 当中心：到 (0,1)、(2,1)、(1,0)、(1,2) 的平方距离都是 1，四个点全挤在距离 1 上，m=4，贡献 4×3=12。换 (0,1) 当中心：到 (1,1) 平方距离 1、到 (2,1) 是 4、到 (1,0) 和 (1,2) 都是 2，只有距离 2 上凑了 2 个点，贡献 2×1=2，其余距离各 1 点配不成对。剩下 (2,1)、(1,0)、(1,2) 与 (0,1) 对称，也各在距离 2 上落 2 点、各贡献 2。五个中心加起来 12+2+2+2+2=20，这就是回旋镖的总数。
换中心忘了清表，别人的账全算到你头上
复杂度上，外层每点当中心、内层扫一遍所有点，时间 O(n²)；每个中心一张距离表最多 n 项，空间 O(n)，比枚举三元组的 O(n³) 快一个量级。最阴的坑是换中心时沿用没清空的旧表，前一中心的点数会串进来、把答案抬高。把 m×(m−1) 误写成 m×(m−1)/2，讲顺序的回旋镖就漏掉一半。改用开方后的浮点距离当键，一般情形下相等判断会因精度抖动误分组。点数少于三个时任何中心都配不出一对，答案为 0；各点到中心距离两两不同、每组仅 1 点时 m×(m−1)=0，同样不贡献。
▶ 动画逐步走查（文字版）——想跟着上方动画一帧帧对照就展开
口诀记牢：每个点轮流当中心，按距离把其余点分组，某距离上有 m 个点就贡献 m×(m−1)。下面每一帧都在套它。
先固定第 0 个点 (1,1) 当中心（紫色）。接下来量它到另外 4 个点的距离，按距离分组记到右边的距离表里。
量到第 1 个点 (0,1)（绿色），平方距离是 1。距离 1 第一次出现，登记 1 个点。
量到第 2 个点 (2,1)（绿色），平方距离是 1。距离 1 又来一个，现在这条距离上累计 2 个点，它们彼此能和中心配成回旋镖。
量到第 3 个点 (1,0)（绿色），平方距离是 1。距离 1 又来一个，现在这条距离上累计 3 个点，它们彼此能和中心配成回旋镖。
量到第 4 个点 (1,2)（绿色），平方距离是 1。距离 1 又来一个，现在这条距离上累计 4 个点，它们彼此能和中心配成回旋镖。
中心 (1,1) 量完：四个点全落在距离 1 上，m = 4。讲顺序地从这 4 个里挑两个，共 4×3 = 12 个回旋镖。答案累计到 12。
换第 1 个点 (0,1) 当中心。注意每换一个中心，距离表都要清空重来，距离是相对当前中心算的。
量到 (1,1)，平方距离 1。距离 1 记 1 个。
量到 (2,1)，平方距离 4。距离 4 记 1 个。
量到 (1,0)，平方距离 2。距离 2 记 1 个。
量到 (1,2)，平方距离 2。距离 2 这下凑到 2 个点了，它们能和中心 (0,1) 组成回旋镖。
中心 (0,1) 量完：只有距离 2 上落了 2 个点，贡献 2×1 = 2，别的距离各只 1 个点配不成对。答案累计到 14。
第 3 个中心 (2,1)，流程一样：清空距离表，逐个量距离。
量到 (1,1)，平方距离 1，距离 1 累计 1 个点。
量到 (0,1)，平方距离 4，距离 4 累计 1 个点。
量到 (1,0)，平方距离 2，距离 2 累计 1 个点。
量到 (1,2)，平方距离 2，距离 2 累计 2 个点。
中心 (2,1) 同样在距离 2 上凑到 2 个点，贡献 2。答案累计到 16。
第 4 个中心 (1,0) 和前面对称，过程一样，直接看分组结果：距离 1: 1 个点，距离 2: 2 个点，距离 4: 1 个点。
中心 (1,0) 在距离 2 上有 2 个点，贡献 2。答案累计到 18。
第 5 个中心 (1,2) 和前面对称，过程一样，直接看分组结果：距离 1: 1 个点，距离 2: 2 个点，距离 4: 1 个点。
中心 (1,2) 在距离 2 上有 2 个点，贡献 2。答案累计到 20。
五个点各当一次中心，把贡献全加起来：中心 (1,1) 贡献 12，另外四个各贡献 2，合计 20。这就是答案。
边界先想清：点太少为 0、距离全不同为 0、同距离 m 个点贡献 m×(m−1)。
面试重点：约束挂在中心上，固定中心 + 哈希分组把一层枚举省掉。
参考代码
from __future__ import annotationsfrom typing import *from collections import *from functools import *from itertools import *from math import *from heapq import *from bisect import *class Solution: def numberOfBoomerangs(self, points: List[List[int]]) -> int: ans = 0 for p1 in points: cnt = Counter() for p2 in points: d = dist(p1, p2) ans += cnt[d] cnt[d] += 1 return ans << 1复杂度
- 时间：O(n²)，每个点当一次中心，各自再扫一遍所有点
- 空间：O(n)，每个中心一张距离哈希表，最多 n 项
易错点
面试追问把动画讲成自己的话
追问为什么枚举「中心点」而不是枚举点对，能从 O(n³) 降到 O(n²)？
追问这题还能更快吗？
这道题到这就讲完了。动画和文字是同一套思路——别光看，关掉页面自己默写一遍。然后顺着主线继续：
最小操作次数使数组元素相等
LeetCode 453 · 中等 · 沿着 数组套路 继续往下推进
把这道题真正学会，再走
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