二进制求和

笨办法是把二进制转成十进制相加再转回去——但数一长就溢出。更稳的办法是直接模仿手算竖式,永远不溢出。

盯死两条规则:本位 = 和 % 2、进位 = 和 ÷ 2。和最大是 1+1+1=3,所以本位最多写 1、进位最多 1,绝不会乱。

末尾对齐 · 准备开算：下面 5 个空格是给结果留的位置(两数最长 4 位,加法最多多进 1 位 → 留 5 格)。我们从最右一列往左逐列填。

对齐示意 · a 的各位：先把 a = 1010 靠右摆进格子看清对齐(灰色只是示意,不是最终结果)。注意末位 0 落在最右那一列。

对齐示意 · b 的各位：b = 1011 也靠右摆,它的末位 1 和 a 的末位 0 正好同列。两数末尾对齐了,就能像竖式那样逐列加。现在清空,正式开算。

第 1 列 · 最右位：最右列:a 的末位是 0、b 的末位是 1、进位 0。和 = 1。本位写 1,没有进位。

第 1 列 · 写下结果：把 1 填进最右格(变绿表示已确定),进位还是 0。指针准备左移到下一列。

第 2 列：往左挪一列:a 这位是 1、b 这位是 1,进位 0。和 = 2 —— 逢二进一!本位写 0,进位 1 留给下一列。

第 2 列 · 写下结果：填入 0。注意 carry 变成 1 了——这个 1 必须带到下一列一起加,千万别丢。

第 3 列：这一列 a、b 都是 0,但别忘了上一列带来的进位 1!和 = 0+0+1 = 1。本位写 1,进位清 0。

第 3 列 · 写下结果：填入 1,进位归 0。结果已经攒到 101(从右往左读)。继续左移。

第 4 列 · 最左原位：到两数的最高位:a 是 1、b 是 1。和 = 2,又逢二进一!本位写 0,进位 1。

第 4 列 · 写下结果：填入 0。两个数都加完了,但 carry 还剩 1!这就是为什么结果要多留一格——进位还得再写出来。

最后一列 · 进位单独成位：a、b 都没位了,只剩 进位 1。和 = 1,本位写 1。这一步常被忘掉——循环条件必须带上「carry 不为 0 也要继续」。

完成 · 结果 = 10101：最高位填 1,5 格全确定。整行从左往右读就是答案 10101——十进制验证 10 + 11 = 21,完全对上。

再演一例 · a=11 b=1：换个数 11 + 1 再走一遍,这次专盯雷区说的进位连锁——一个进位怎么一路顶到最高位。两数最长 2 位,留 3 格。

第 1 列 · 最右位：最右列:a 末位 1、b 末位 1。和 = 2,逢二进一,本位写 0,进位 1。

第 1 列 · 写下结果：填入 0,进位 1 带往下一列。

第 2 列：b 已经没位了(当 0 算),a 这位 1 加进位 1 = 2,又逢二进一!本位 0,进位还是 1——连锁了。

第 2 列 · 写下结果：填 0。两个数都加完了,但 carry 仍是 1,循环靠 carry 条件继续。

最后一列 · 进位成最高位：最高位把进位 1 写出来,结果 100(= 十进制 4 = 3 + 1)。看清了吗——一个进位从最右一路顶到了最左,这就是连锁。

这就是「大数加法」的通用套路。把它从二进制换成十进制(逢十进一)、换成任意进制都成立——核心永远是对齐末位、逐列带进位。

雷区实演 · 漏了 carry 收尾：算 1 + 1:本位写 0、进位 1,可如果循环条件不带 carry,这里就直接结束,结果只剩 0。正确答案是 10——那个进位的 1 必须再补一列。

边界三连：先想进位连锁(11+1)、全零(0+0)、最高位再进位三种,代码就稳了。

面试追问：把「为何不转整数(溢出)」和「换进制就通用」讲清楚,是这题面试的加分项。