托普利茨矩阵 图解题解

这道题到底在问什么

输入

matrix = [[1,2,3,4],[5,1,2,3],[9,5,1,2]]

输出

true

解释

每条左上→右下的斜线上数字都一样（如 1,1,1 / 2,2 / 5,5）。

先想最直接的笨办法

代码极简：两层循环从 (1,1) 扫到右下角，发现任何一格不等于它的左上角就立即 return false；全都相等就 return true。第一行、第一列因为没有左上角，从下标 1 开始循环就自然跳过了。（动画第 27 步）

最优解：一步一步想明白

1. 33 行 4 列这是我们的例子。先肉眼找几条对角线感受一下：左上那条 1→1→1、它右边一条 2→2→2、左下那条 5→5。要判断的就是：是不是每条斜线都这样「一路同值」。
2. 4真的去走每一条对角线最直白的想法：找出所有对角线的起点（第一行、第一列的格子），每条都顺着右下方走一遍，逐个比是不是相等。这能做，但要专门处理「哪些是起点、怎么往右下走」，写起来有点绕。
3. 5别走对角线，只看左上邻居换个角度：对角线就是「右下方向」，那么一个格子在它对角线上的前一个，就是它的左上角那格 (i-1, j-1)。所以只要每个格子都等于自己的左上角，整条对角线自然就全相等了——根本不用真的走斜线！
4. 6逐格相等 = 整条相等如果 a 等于它的左上 b，b 又等于它的左上 c……那 a=b=c=… 整条线就都相等了。所以我们不必整条线一起看，只需逐格检查「我 == 我的左上角」。第一行、第一列没有左上角，直接跳过。
5. 7第一行/第一列没有左上角，跳过蓝色这些是第一行和第一列——它们没有左上角，不用检查（它们各自是某条对角线的起点）。真正要逐个验证的，是从 (1,1) 开始、行列都 ≥1 的格子。
6. 81 == 1 ✓看 (1,1) 这格（紫色），它的值是 1；它的左上角是 (0,0)，值也是 1。1 == 1，相等，这格通过。
7. 9已检查 1 格(1,1) 检查通过，标成蓝色「已确认」。继续看它右边的格子。
8. 102 == 2 ✓看 (1,2)，值是 2；它的左上角 (0,1) 也是 2。两格同时高亮（紫色）——2 == 2，相等，通过。
9. 11已检查 2 格(1,2) 也通过，变蓝锁定。已经确认了 2 格，继续往右看 (1,3)。
10. 123 == 3 ✓(1,3) 值 3，它的左上角 (0,2) 也是 3。3 == 3，通过。第二行三个待查格子全过了。
11. 13已检查 3 格第二行从 (1,1) 到 (1,3) 都通过了（蓝色）。注意我们一直只在比「自己 vs 左上角」，从没真的去走整条斜线，但效果完全一样。接着检查第三行。
12. 145 == 5 ✓进入第三行。(2,1) 值 5，它的左上角 (1,0) 也是 5。5 == 5，通过。
13. 15已检查 4 格(2,1) 变蓝锁定。这格落在左下那条 5→5 的对角线上，与上一格 (1,0) 的 5 一脉相承。继续看 (2,2)。
14. 161 == 1 ✓(2,2) 值 1，左上角 (1,1) 也是 1。1 == 1，通过。这一格刚好在那条「1→1→1」的主对角线上。
15. 17已检查 5 格(2,2) 锁定。只剩最后一格 (2,3) 还没查了。
16. 182 == 2 ✓最后一格 (2,3) 值 2，左上角 (1,2) 也是 2。2 == 2，通过。所有该查的格子都查完了。
17. 196 格全相等 → true6 个待查格子全部「等于自己的左上角」，没有任何一处不相等，所以这是托普利茨矩阵，返回 true。我们只扫了一遍矩阵就判完了。
18. 20逐格相等 = 整条相等回头看这条主对角线 (0,0)→(1,1)→(2,2)，值是 1,1,1。我们之所以确定它全相等，靠的就是「(1,1)=左上(0,0)」和「(2,2)=左上(1,1)」这两次逐格比较串起来的。
19. 21同样靠逐格传递确认再看 (0,1)→(1,2)→(2,3) 这条，值是 2,2,2，也全相等。每一条对角线都是被「相邻两格的逐个比较」悄悄验证过的——这就是这个技巧的妙处。
20. 22短对角线也一样成立(1,0)→(2,1) 这条短对角线值是 5,5，靠 (2,1)=左上(1,0) 这一次比较确认。短到只有两格的对角线，逻辑完全一样。
21. 23单格对角线天然成立左下角的 9 和右上角的 4 各自是一条只有一个格子的对角线，无需比较、天然成立。这也解释了为什么第一行、第一列不用查——它们都是对角线的起点。
22. 24只要有一格 ≠ 左上，就 false再看一个反例 [[1,2],[2,2]]。它的对角线 (0,0)→(1,1) 应该全相等才行。我们用同样的方法，逐格检查一下。
23. 252 ≠ 1 ✗在 [[1,2],[2,2]] 里检查 (1,1)，它的值是 2；它的左上角 (0,0) 是 1。2 ≠ 1，不相等！对角线 (0,0)→(1,1) 上出现了不一样的数（红色）。
24. 26发现一处不等即可结束只要任意一格不等于它的左上角，就说明那条对角线不是同值，整个矩阵就不是托普利茨矩阵。立刻返回 false，根本不用再看后面的格子。
25. 27双层循环 + 一个判断代码极简：两层循环从 (1,1) 扫到右下角，发现任何一格不等于它的左上角就立即 return false；全都相等就 return true。第一行、第一列因为没有左上角，从下标 1 开始循环就自然跳过了。
26. 30记住这一句把「整条对角线都相等」这个全局条件，转化成「每个格子都等于自己左上邻居」这个局部条件——这是很多矩阵题的通用思路：用相邻关系替代远距离关系。

⚠️ 容易写错的地方

完整代码（Python / C++ / Java）

class Solution:
    def isToeplitzMatrix(self, matrix):
        m, n = len(matrix), len(matrix[0])
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                if matrix[i][j] != matrix[i - 1][j - 1]:
                    return False
        return True

class Solution {
public:
    bool isToeplitzMatrix(vector<vector<int>>& matrix) {
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (matrix[i][j] != matrix[i - 1][j - 1]) {
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
};

class Solution {
    public boolean isToeplitzMatrix(int[][] matrix) {
        int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (matrix[i][j] != matrix[i - 1][j - 1]) {
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
}

复杂度

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