LeetCode 9简单数学
回文数 图解题解
这道题到底在问什么
给定整数 x，判断它是否是回文整数。进阶要求：不把它转成字符串。
- 输入
- x = 121 → true（正读反读都是 121）
- 输入
- x = -121 → false（负号只在左边）
- 输入
- x = 10 → false（末尾 0 不能当首位）
最优解：一步一步想明白
- 3转字符串很直观，但要额外开一段空间，而且面试常要求不转字符串。纯数学法能做到常数空间。
- 4不反转整个数，只反转后一半。循环停下时，x 是左半边、rev 是反转过的右半边，两边一比就知道是不是回文。
- 5if x ＜ 0 or (x % 10 == 0 and x != 0): return False负数不对称，直接 false。末尾为 0 的非零数反转后首位会是 0，也直接 false。x=0 是唯一例外，最后会被放行。
- 6rev = 0rev 从 0 开始。每轮把 x 最低位弹出来接到 rev 后面。循环条件是 x 大于 rev，保证只处理后一半。
- 7rev = rev * 10 + x % 10; x //= 10弹出最右边的 1，接到 rev 后面，rev 变 1。x 砍掉末位变 1232。x 还远大于 rev，继续。
- 8rev = rev * 10 + x % 10; x //= 10再弹出 2，rev 变 12（右边的 21 已经被反转成 12）。x 变 123，还是大于 rev，继续。
- 9rev = rev * 10 + x % 10; x //= 10奇数位的中间那位 3 也被弹进了 rev，rev=123。x 变 12，现在 x 小于 rev，循环停止——后一半反转完了。
- 10return x == rev or x == rev // 10奇数位时 rev 多带了中间的 3。x==rev 不成立，但去掉中间位后 rev//10=12，正好等于左半 x=12，所以 12321 是回文。
- 111221：rev 和 x 直接相等，不用去中间位偶数位没有中间位：弹两次后 x=12、rev=12 直接相等。所以 x==rev 管偶数位，x==rev//10 管奇数位，一行覆盖两种。
- 12x=10：x % 10 == 0 且 x != 0 → 直接 return False如果不挡 10：反转得到 01，整数里前导 0 会丢掉变成 1，1 不等于 10、却也不好比。所以末尾为 0 的非零数提前 false。
- 15两个要点：一是只反转后半，省运算又避开整型溢出的思路风险；二是奇偶统一成 x==rev 或 x==rev//10。
- 22学完回文数去整数拆位专题连刷：lc7 整数反转用同样的取末位拼接，lc202 快乐数也靠拆位循环。卡住时用 AI 答疑问『我的奇偶判断哪里不稳』。进专题：/leetcode-animation/ds?k=bit
⚠️ 容易写错的地方
✗ 错：忘记排除负数
✓ 对：x 小于 0 直接 return false
负号只在左边，倒过来位置就变了，负数永远不是回文。
✗ 错：10、100、1000 误判为回文
✓ 对：x % 10 == 0 且 x != 0 直接 return false
末尾为 0 的非零数反转后首位是 0，整数会丢掉前导 0，比较必错。
✗ 错：奇数位只判断 x == rev
✓ 对：还要判断 x == rev // 10
奇数位时中间那位会多跑进 rev，要用整除 10 去掉它再比。
完整代码（Python / C++ / Java）
Python
class Solution:
def isPalindrome(self, x: int) -> bool:
if x < 0 or (x % 10 == 0 and x != 0):
return False
rev = 0
while x > rev:
rev = rev * 10 + x % 10
x //= 10
return x == rev or x == rev // 10C++
class Solution {
public:
bool isPalindrome(int x) {
if (x < 0 || (x % 10 == 0 && x != 0))
return false;
int rev = 0;
while (x > rev) {
rev = rev * 10 + x % 10;
x /= 10;
}
return x == rev || x == rev / 10;
}
};Java
class Solution {
public boolean isPalindrome(int x) {
if (x < 0 || (x % 10 == 0 && x != 0))
return false;
int rev = 0;
while (x > rev) {
rev = rev * 10 + x % 10;
x /= 10;
}
return x == rev || x == rev / 10;
}
}套路模板 · 整数半反转骨架（挖空背诵）
# 步骤 1：排掉不可能是回文的——负数 / 末尾 0 的非零数
if x < 0 or (x % 10 == 0 and x != 0):
return False
# 步骤 2：只反转后一半，rev 赶上 x 就停
rev = 0
while x > ____: # 填：rev
rev = rev * 10 + x % 10
x //= 10
# 步骤 3：偶数位 x==rev；奇数位去掉中间位
return x == rev or x == ____ # 填：rev // 10// 步骤 1：排边界
if (x < 0 || (x % 10 == 0 && x != 0)) return false;
// 步骤 2：只反转后一半
int rev = 0;
while (x > /*填*/ rev) {
rev = rev * 10 + x % 10;
x /= 10;
}
// 步骤 3：奇偶统一
return x == rev || x == /*填*/ rev / 10;// 步骤 1：排边界
if (x < 0 || (x % 10 == 0 && x != 0)) return false;
// 步骤 2：只反转后一半
int rev = 0;
while (x > /*填*/ rev) {
rev = rev * 10 + x % 10;
x /= 10;
}
// 步骤 3：奇偶统一
return x == rev || x == /*填*/ rev / 10;复杂度
时间复杂度
O(log n)
x 的位数是 log10(x)；每轮砍掉一位、只处理后一半，约循环 log10(x)/2 次。
空间复杂度
O(1)
只用 rev 一个整数变量，不开字符串、不开数组。
看不够？换成动画再走一遍
上面的推演每一步都对应一帧动画。点开交互动画版，能一步步看着 回文数 的数据怎么变、指针怎么走，还能切 Python / Java / C++ 跟着练。
面试官可能追问
为什么只反转后一半，不反转整个数？+
反转整个数可能超出 32 位范围（比如以 8、9 开头的大整数反转就溢出）。只反转后一半，数值最多到原数的一半，不会越界，也少跑一半循环。
这道题为什么用「数学」，换最直接的暴力解会差在哪？+
数学抓住了本题的结构特征，把暴力解里重复的工作省掉；暴力解通常要多嵌套一层枚举，数据一大就超时。具体对比见上文「暴力解及其卡点」与「最优解逐步推演」两节。
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