LeetCode 673中等动态规划
最长递增子序列的个数 图解题解
这道题到底在问什么
给定一个未排序的整数数组 nums ， 返回最长递增子序列的个数 。 注意 这个数列必须是 严格 递增的。
- nums
- [1,3,5,4,7]
- 输出
- 2
先想最直接的笨办法
DP 表跟着代码走：推进语句是：for i in range(n):。处理过的部分不再重新枚举。（动画第 10 步）
最优解：一步一步想明白
- 3下面 9 步动画会按主解代码推进，而不是泛泛讲题型。
- 4先读清 最长递增子序列的个数 的输入输出DP 表跟着代码走：先把示例输入映射到代码参数：def findNumberOfLIS(self, nums):。
- 5n = len(nums)；length = [1] * n；count = [1] * nDP 表跟着代码走：开局只立住必要变量：n = len(nums)；length = [1] * n；count = [1] * n。
- 6for i in range(n):DP 表跟着代码走：主流程从这里开始：for i in range(n):。
- 7if nums[j] < nums[i]:DP 表跟着代码走：题目条件落到这一行：if nums[j] < nums[i]:。
- 8更新核心状态DP 表跟着代码走：对应代码：更新答案变量。这一行决定当前轮对答案有什么贡献。
- 9同时维护 countDP 表跟着代码走：边界跟着代码看：if nums[j] < nums[i]:。
- 10for i in range(n):DP 表跟着代码走：推进语句是：for i in range(n):。处理过的部分不再重新枚举。
- 11return sum(c for l, c in zip(length, count) if l == longest)DP 表跟着代码走：到这里，i 已经能表达题目要求。
- 12return：return sum(c for l, c in zip(length, count) if l == longest)DP 表跟着代码走：最后检查返回形态：返回值、原地修改或设计类状态，要和 LeetCode 判题方式一致。
- 15记住这题的代码骨架：题意约束先落到状态变量，再用循环或递归维护它。
⚠️ 容易写错的地方
✗ 错：只维护长度
✓ 对：同时维护 count
题目要求个数
✗ 错：遇到相同长度覆盖计数
✓ 对：相同长度累加计数
多个前驱都能形成 LIS
完整代码（Python）
Python
class Solution:
def findNumberOfLIS(self, nums):
n = len(nums)
length = [1] * n
count = [1] * n
for i in range(n):
for j in range(i):
if nums[j] < nums[i]:
if length[j] + 1 > length[i]:
length[i] = length[j] + 1
count[i] = count[j]
elif length[j] + 1 == length[i]:
count[i] += count[j]
longest = max(length)
return sum(c for l, c in zip(length, count) if l == longest)复杂度
时间复杂度
O(n^2)
枚举前驱
空间复杂度
O(n)
长度和计数数组
看不够？换成动画再走一遍
上面的推演每一步都对应一帧动画。点开交互动画版，能一步步看着 最长递增子序列的个数 的数据怎么变、指针怎么走，还能切 Python / Java / C++ 跟着练。
面试官可能追问
这道题为什么用「动态规划」，换最直接的暴力解会差在哪？+
动态规划抓住了本题的结构特征，把暴力解里重复的工作省掉；暴力解通常要多嵌套一层枚举，数据一大就超时。具体对比见上文「暴力解及其卡点」与「最优解逐步推演」两节。
时间复杂度为什么是 undefined？怎么推出来的？+
按上文复杂度小节的推导，时间复杂度为 undefined。
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