LeetCode 343中等动态规划
整数拆分 图解题解
这道题到底在问什么
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。 返回 你可以获得的最大乘积 。
- n
- 10
- 输出
- 36
先想最直接的笨办法
DP 表跟着代码走：推进语句是：for i in range(2, n + 1):。处理过的部分不再重新枚举。（动画第 10 步）
最优解：一步一步想明白
- 3下面 9 步动画会按主解代码推进，而不是泛泛讲题型。
- 4先读清 整数拆分 的输入输出DP 表跟着代码走：先把示例输入映射到代码参数：def integerBreak(self, n):。
- 5dp = [0] * (n + 1)；dp[1] = 1DP 表跟着代码走：开局只立住必要变量：dp = [0] * (n + 1)；dp[1] = 1。
- 6for i in range(2, n + 1):DP 表跟着代码走：主流程从这里开始：for i in range(2, n + 1):。
- 7根据题意分情况DP 表跟着代码走：题目条件落到这一行：满足条件就进入对应分支。
- 8return dp[n]DP 表跟着代码走：对应代码：return dp[n]。这一行决定当前轮对答案有什么贡献。
- 9还要比较 j*dp[i-j]DP 表跟着代码走：边界跟着代码看：dp[i] = max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j])。
- 10for i in range(2, n + 1):DP 表跟着代码走：推进语句是：for i in range(2, n + 1):。处理过的部分不再重新枚举。
- 11return dp[n]DP 表跟着代码走：到这里，dp 已经能表达题目要求。
- 12return：return dp[n]DP 表跟着代码走：最后检查返回形态：返回值、原地修改或设计类状态，要和 LeetCode 判题方式一致。
- 15记住这题的代码骨架：题意约束先落到状态变量，再用循环或递归维护它。
⚠️ 容易写错的地方
✗ 错：只算 j*(i-j)
✓ 对：还要比较 j*dp[i-j]
右半部分可能继续拆更优
✗ 错：n=2 返回 2
✓ 对：返回 1
必须拆成至少两个正整数
完整代码（Python）
Python
class Solution:
def integerBreak(self, n):
dp = [0] * (n + 1)
dp[1] = 1
for i in range(2, n + 1):
for j in range(1, i):
dp[i] = max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j])
return dp[n]复杂度
时间复杂度
O(n^2)
枚举 i 和 j
空间复杂度
O(n)
dp 数组
看不够？换成动画再走一遍
上面的推演每一步都对应一帧动画。点开交互动画版，能一步步看着 整数拆分 的数据怎么变、指针怎么走，还能切 Python / Java / C++ 跟着练。
面试官可能追问
这道题为什么用「动态规划」，换最直接的暴力解会差在哪？+
动态规划抓住了本题的结构特征，把暴力解里重复的工作省掉；暴力解通常要多嵌套一层枚举，数据一大就超时。具体对比见上文「暴力解及其卡点」与「最优解逐步推演」两节。
时间复杂度为什么是 undefined？怎么推出来的？+
按上文复杂度小节的推导，时间复杂度为 undefined。
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