算法概念速查
什么是拓扑排序？Kahn 算法、判环原理与经典例题
一句话定义
拓扑排序是把有向无环图（DAG）的所有节点排成一个线性顺序，使每条边都从排在前面的节点指向排在后面的节点——「先修课永远排在后修课前面」。标准做法是 Kahn 算法：反复取出入度为 0 的节点放进结果、并给它的后继减入度；如果最后取出的节点数少于总数，说明图中有环，根本不存在合法顺序。
先打个比方
像安排一学期的选课顺序：《数据结构》要先修《程序设计》，《算法》又要先修《数据结构》。每学期你只能选「先修课已全部修完」的课——这就是「入度为 0 才能入队」。如果两门课互为先修（成环），谁也别想开始，这学期就死锁了——这正是「有环则无拓扑序」。
它是怎么运作的
Kahn 算法四步：① 建邻接表并统计每个点的入度；② 所有入度为 0 的点入队；③ 出队一个点计入结果，它指向的每个后继入度减一，减到 0 就入队；④ 队列空后，比较「结果数 == 节点总数」——相等则输出拓扑序，少了则有环（环上节点的入度永远减不到 0，进不了队）。整体 O(V + E)。
建边方向是最高频的翻车点：prerequisites[i] = [b, a] 表示「修 b 之前要先修 a」，应建边 a → b、给 b 的入度加一。记牢口诀「先修指向后修」，方向反了整个顺序全错。
什么时候用：识别信号
题目里出现下面任何一条，就该想到「拓扑排序」。
- 题面出现「先修 / 依赖 / 前置任务 / 先后顺序」这类字眼
- 要判断一批带依赖的任务能否全部完成（= 有向图是否无环）
- 要输出一个满足所有依赖的合法执行顺序
- 要按依赖关系分层处理：一层做完才能做下一层
别和它们搞混
配套动画题：眼见为实
每道题都有逐步交互动画，看着数据动起来，比读十遍文字都快。
常见追问
拓扑序是唯一的吗？
一般不唯一：队列里同时有多个入度 0 的点时，先取谁都合法。只有每一步队列里恰好一个点，拓扑序才唯一——有些题会反过来考「判断顺序是否唯一」。
为什么队列空了不代表修完了所有课？
有环时环上的课入度永远大于 0、从不入队，队列会「提前」空掉。所以判断依据必须是「处理过的节点数是否等于总数」，直接返回 true 是经典 bug。
DFS 也能做拓扑排序吗？
能：对每个点做 DFS，节点「访问完成」时压入栈，最后整栈逆序弹出就是拓扑序；判环用三色标记（访问中再次遇到「访问中」的点即有环）。Kahn 更直观，DFS 版在需要后序信息时更顺手。