一维数组的动态和 图解题解

动态和的每一格该填什么

给一个数组 nums，要返回一个等长的新数组，第 i 个位置放的是 nums 从开头一直加到第 i 个的总和：第 0 位就是 nums[0]，第 1 位是 nums[0]+nums[1]，越往后加进来的数越多。题面 nums=[1,2,3,4] 得 [1,3,6,10]，nums=[3,1,2,10,1] 得 [3,4,6,16,17]。

每格从头加一遍，慢在哪里

到第 i 位就从 nums[0] 加到 nums[i]，每格都当成一道独立的求和题——第 0 位加 1 个数、第 1 位加 2 个，直到末位加满 n 个。这些次数摞起来是 1+2+…+n，落在 O(n²) 量级。数组短时无所谓，一旦长到上千，同一段开头被反复重加，大多加法都在白做。

前缀和凭什么每格只加一次

相邻两格的和其实只差一个数。第 i 位是前 i+1 个数的和，第 i−1 位是前 i 个数的和，两者之间只差最后进来的那个 nums[i]。上一格已把前面整段加好，算这一格拿它再补一个 nums[i] 就够，不必回头重算。这种累计下来的和就叫前缀和，滚动公式是 ans[i] = ans[i-1] + nums[i]：累加器从左滚到右扫一遍，每格只做一次加法，前面的和一次都不重来。

累加器从左滚到右，每步做两件事

走起来只有两个动作。先定累加器的起点：第 0 位左边没有数，前缀和就是 nums[0] 自己，相当于从 0 加上 nums[0]。然后从第 1 位起，每到一格就把累加器，也就是上一格的前缀和，加上当前的 nums[i]；得到的新和写进这一格，也顺势成为下一格的累加器。一路推进到末位，前缀和就都填满了。

题面两组数，逐格滚给你看

先走 nums=[1,2,3,4]。累加器从 0 起步：第 0 位 0+1=1；第 1 位 1+2=3；第 2 位 3+3=6；第 3 位 6+4=10，得到 [1,3,6,10]。每步都是拿左边刚算出的结果，只添一个新数。

再走 nums=[3,1,2,10,1]。第 0 位就是 3；第 1 位 3+1=4；第 2 位 4+2=6；第 3 位 6+10=16；第 4 位 16+1=17，最终是 [3,4,6,16,17]。哪怕中间夹着大得多的 10，也只是在上一格 6 上加一次，前面几个数不必再碰。

别漏了第 0 位，也别从右往左滚

另开新数组时最易漏的，是忘了先把第 0 位设成 nums[0] 就从第 1 位开填，开头空一格、整串全错位；原地写法从下标 1 起让 nums[i] 加上 nums[i-1]，正好绕开——nums[0] 本就是它自己。方向也不能反：从左往右时读到的 nums[i-1] 已是算好的前缀和，当得起累加器，一改成从右往左，左邻居还没更新就取错了。复杂度上只一趟扫描、每格一次加法，时间 O(n)；原地写回 nums 时空间 O(1)，Python 的 accumulate 会另开长度 n 的列表作输出。边界同样一套滚法：单个元素时输出同输入；夹负数时前缀和先降再升；全 0 时动态和也全 0。

Python

from __future__ import annotations
from typing import *
from collections import *
from functools import *
from itertools import *
from math import *
from heapq import *
from bisect import *
class Solution:
    def runningSum(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        return list(accumulate(nums))

C++

#include <algorithm>
#include <array>
#include <cctype>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <functional>
#include <iostream>
#include <limits>
#include <map>
#include <numeric>
#include <queue>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <string>
#include <tuple>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>
using namespace std;
class Solution {
public:
    vector<int> runningSum(vector<int>& nums) {
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) nums[i] += nums[i - 1];
        return nums;
    }
};

Java

import java.util.*;
class Solution {
    public int[] runningSum(int[] nums) {
        for (int i = 1; i < nums.length; ++i) {
            nums[i] += nums[i - 1];
        }
        return nums;
    }
}