题目描述与示例
题目描述
小明玩一个游戏。 系统发1+n
张牌,每张牌上有一个整数。 第一张给小明,后n
张按照发牌顺序排成连续的一行。
需要小明判断,后n
张牌中,是否存在连续的若干张牌,其和可以整除小明手中牌上的数字。
输入描述
输入数据有多组,每组输入数据有两行,输入到文件结尾结束。
第一行有两个整数n
和m
,空格隔开。m
代表发给小明牌上的数字。
第二行有n
个数,代表后续发的n
张牌上的数字,以空格隔开。
输出描述
对每组输入,如果存在满足条件的连续若干张牌,则输出1
;否则,输出0
。
备注
1`` ``≤`` ``n`` ``≤`` ``1000
1`` ``≤ 牌上的整数 ≤`` ``400000
- 输入的数组,不多于
1000
- 用例确保输入都正确,不需要考虑非法情况。
示例一
输入
6 7
2 12 6 3 5 5
输出
1
示例二
输入
10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
输出
0
说明
两组输入。
第一组小明牌的数字为7
,再发了6
张牌。第1、2
两张牌教字和为14
,可以整除7
,输出1
第二组小明牌的数字为11
,再发了10
张牌,这10
张牌数字和为10
,无法整除11
,输出0
。
解题思路
前缀和
本题需要用到前缀和的概念。
- 对于一个给定的数列
A
,它的前缀和数列S
中S[i+1]
表示从第1
个元素到第i
个元素的总和。 - 假设
nums
是一个int
型列表,形如sum(nums[0:i+1])
就是从索引0
对应的元素开始,累加到索引i
对应的元素的前缀和。 - 譬如
nums = [1, 2, 3, 4]
,那么其前缀和列表即为pre_sum_lst = [0, 1, 3, 6, 10]
。
前缀和的作用是可以在O(1)
的时间复杂度下快速地计算出某段连续子数组的和。即
sum(nums[i:j]) = pre_sum_lst[j] - pre_sum_lst[i]
譬如对于上述nums = [1, 2, 3, 4]
而言,如果想快速计算出子数组nums[1:4] = [2, 3, 4]
的结果,只需要计算pre_sum_lst[4] - pre_sum_lst[1] = 10 - 1 = 9
即为答案。
前缀和的作用也可以解释,为什么我们会把0
也视为一个前缀和并且放在前缀和列表的第一个位置。由于设置了pre_sum_lst[0] = 0
,那么pre_sum_lst[i] - pre_sum_lst[0] = sum(nums[:i])
,才能够得到起始位置为原数组nums
中第一个元素的连续子数组的和。
简单的数学推导
假设连续子数组nums[i:j]
的和为A
,由上述关于前缀和的定义可知
A = pre_sum_lst[j] - pre_sum_lst[i]
假设A
是符合题意的连续子数组和(此时应该输出1
作为结果),那么存在
A % m == 0
成立,即
(pre_sum_lst[j] - pre_sum_lst[i]) % m == 0
成立。打开括号并移项,可以得到
pre_sum_lst[j] % m == pre_sum_lst[i] % m
成立。
因此,我们只需要找到两个前缀和pre_sum_lst[i]
和pre_sum_lst[j]
,能够满足上述式子,就可以说明存在符合题意的连续子数组了。
哈希集合的使用
在本题中,只需要判断能否找到一个满足题意的连续子数组,显然下标的具体值并不重要。故我们可以直接使用一个哈希集合pre_sum_set
来储存所有的前缀和对m
求余的结果,而不用考虑下标。
我们可以在一个循环中对前缀和进行计算和判断,其具体结果如下:
- 计算包含了
i
位置元素的前缀和pre_sum
- 计算当前前缀和对
m
的求余结果pre_sum % m
- 判断求余结果
pre_sum % m
是否位于哈希集合中,若- 存在,则说明在此之前存在某个前缀和对m求余可以得到一样的结果。退出循环,输出
1
- 不存在,继续循环
- 存在,则说明在此之前存在某个前缀和对m求余可以得到一样的结果。退出循环,输出
- 如果在上一步中没有退出循环,则将
pre_sum % m
存入哈希集合pre_sum_set
中
将该核心逻辑转化为代码即为
for num in nums:
pre_sum += num
if pre_sum % m in pre_sum_set:
isFind = True
break
pre_sum_set.add(pre_sum % m)
如果本题不仅要判断能否找到符合要求的连续子数组,还对题目做如下修改:
- 输出所有符合要求的子数组的起始坐标和结束坐标
- 输出符合要求的最长子数组的长度
- 输出符合要求的最短子数组的长度
- 输出所有符合要求的子数组的数目
那么代码逻辑应该如何修改?
其中,第四种问法等价于LeetCode974. 可被K整除的子数组
代码
Python
# 题目:2023B-数字游戏
# 分值:100
# 作者:闭着眼睛学数理化
# 算法:哈希集合+前缀和
# 代码有看不懂的地方请直接在群上提问
# n为其他牌的数目,m为小明手上的牌
n, m = map(int, input().split())
# 输入剩余n张牌
nums = list(map(int, input().split()))
# 设置一个集合,用来储存所有前缀和对m的求余结果
pre_sum_set = set()
# 前缀和0始终可以取得到,即不选取任何一个数字,0 % m = 0,在集合中储存0
pre_sum_set.add(0)
# 初始化前缀和为0
pre_sum = 0
# 初始化标志,表示是否找到一段连续的数组可以整除
isFind = False
for num in nums:
# 前缀和加上num
pre_sum += num
# 如果pre_sum除以m后的余数位于pre_sum_set中
# 说明在当前pre_sum之前存在一个前缀和k,
# 存在 pre_sum % m == k % m 成立
# 显然上式等价于 (pre_sum - k) % m == 0
# 即位于pre_sum和k之间的这一段连续的数组和能够整除m
if pre_sum % m in pre_sum_set:
isFind = True
break
# 如果没有进入上述if,则需要把pre_sum % m的结果储存入集合pre_sum_set中
pre_sum_set.add(pre_sum % m)
# 根据isFind的结果,输出数字0或1
print(int(isFind))
Java
import java.util.HashSet;
import java.util.Scanner;
import java.util.Set;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
int[] nums = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = scanner.nextInt();
}
Set<Integer> preSumSet = new HashSet<>();
preSumSet.add(0);
int preSum = 0;
boolean isFind = false;
for (int num : nums) {
preSum += num;
if (preSumSet.contains(preSum % m)) {
isFind = true;
break;
}
preSumSet.add(preSum % m);
}
System.out.println(isFind ? 1 : 0);
}
}
C++
“`C++
#include <iostream>
#include <unordered_set>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
<pre><code>vector<int> nums(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> nums[i];
}
unordered_set<int> preSumSet;
preSumSet.insert(0);
int preSum = 0;
bool isFind = false;
for (int num : nums) {
preSum += num;
if (preSumSet.count(preSum % m)) {
isFind = true;
break;
}
preSumSet.insert(preSum % m);
}
cout << (isFind ? 1 : 0) << endl;
return 0;
</code></pre>
}
“`
时空复杂度
时间复杂度:O(``n``)
。仅需一次遍历数组。
空间复杂度:O(``n``)
。哈希集合所占空间。
说明
华为OD机试有三道题⽬,第⼀道和第⼆道属于简单或中等题,分值为 100 分,第三道为中等或困难题,分值为 200分,总分为 400 分。
机试分数越⾼评级越⾼,⼯资也就越⾼。
关于华为 OD 机试更加详细的介绍可以查看这篇⽂章:华为OD机考须知
关于机考题目汇总可以看这篇文章:华为OD机试真题 2023 A+B+C+D卷 + 2024新卷(Python&Java&C++)⽬录汇总(每⽇更新)