剑指 Offer 40. 最小的k个数

一、题目描述

输入整数数组 arr ,找出其中最小的 k 个数。例如,输入 4、5、1、6、2、7、3、8 这 8 个数字,则最小的 4 个数字是 1、2、3、4 。

示例 1:

输入:arr = [3,2,1], k = 2
输出:[1,2] 或者 [2,1]

示例 2:

输入:arr = [0,1,2,1], k = 1
输出:[0]

限制:

  • 0 <= k <= arr.length <= 10000
  • 0 <= arr[i] <= 10000

二、题目解析

这道题目最简单粗暴的方法当然是将数组 arr 按照从小到大的顺序整体排序之后,获取数组的前 k 个数就行。

而整体排序的算法有很多种选择,比如冒泡、选择、快速、堆排序等等。

这种暴力解法肯定不是面试官想要的回答,因为我们没有利用好题目的全部条件。

再读一下这句话:找出其中最小的 k 个数

这句话隐藏着以下几个意思:

  • 1、找出的这 k 个数并不需要按照顺序排列。
  • 2、如果一开始就知道某个数不在这 k 个数中,完全可以将它丢到一旁。

也就意味着,在排序过程中,我们可以去不断的缩小排序的区间,这里我们借助快速排序的代码,稍微的改动几行就完成了这道题目。

具体操作如下:

  • 1、以当前区间的第一个元素为基准元素 pivot,根据快速排序的操作,将当前区间划分为了三个区间。
    • 1、左侧区间均是小于等于基准元素 pivot 的元素
    • 2、中间区间均是等于基准元素 pivot 的元素
    • 3、右侧区间均是大于等于基准元素 pivot 的元素

  • 2、对比基准元素 pivot 所在的下标 index 与 k 的关系
    • 1、index 小于 k,说明从 0 到 index 这个左侧区间中的元素不足 k 个,那么最小的 k 个数肯定部分是在这个区间,还需要继续在右侧区间中去寻找出一部分元素来填充,因此对对右侧区间进行快速排序即可
    • 2、index 等于 k,说明从 0 到 index 这个区间中的所有元素就是那些最小的 k 个数,将其返回。
    • 3、index 大于 k,说明从 0 到 index 这个左侧区间中的元素超过了 k 个,那么最小的 k 个数肯定是都在在这个区间,而中间、右侧区间均可以不去处理,只需要继续对左侧区间进行快速排序即可,找到那 k 个数。

为了帮助你更好的理解整个过程,我特意做了一组动画,点开可以查看

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三、参考代码

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// https://www.algomooc.com
// 作者:程序员吴师兄
// 代码有看不懂的地方一定要私聊咨询吴师兄呀
// 剑指 Offer 40. 最小的k个数:https://leetcode-cn.com/problems/zui-xiao-de-kge-shu-lcof/
class Solution {
    public int[] getLeastNumbers(int[] arr, int k) {

        if (k == 0 || arr.length == 0) {
            return new int[0];
        }

        // 执行快速排序操作,定位找到下标为 k - 1 的那个元素
        return quickSort(arr,0,arr.length - 1,k - 1);
    }


    // 函数传入待排序数组 nums
    // 排序区间的左端点 left
    // 排序区间的右端点 right
    private int[] quickSort(int[] nums,int left, int right , int index){

        // 调用函数 partition,将 left 和 right 之间的元素划分为左右两部分
        int mid = partition(nums,left,right);

        // 如果 mid 下标恰巧为 index,那么找到了最小的 k 个数
        if (mid == index) {
            // 直接返回
            return Arrays.copyOf(nums, mid + 1);

        // 如果 mid 下标大于 index,那么说明需要在左侧元素中去切分
        }else if( mid > index ){

            // 对 mid 左侧的元素进行快速排序
            return quickSort(nums,left,mid - 1, index );
        }else{

            // 对 mid 右侧的元素进行快速排序
            return quickSort(nums,mid + 1,right, index );
        }

    }

    private int partition(int[] nums, int left ,int right){

        // 经典快速排序的写法
        // 设置当前区间的第一个元素为基准元素
        int pivot = nums[left];

        // left 向右移动,right 向左移动,直到 left 和 right 指向同一元素为止
        while( left < right ){

            // 只有当遇到小于 pivot 的元素时,right 才停止移动
            // 此时,right 指向了一个小于 pivot 的元素,这个元素不在它该在的位置上
            while( left < right && nums[right] >= pivot ){
                // 如果 right 指向的元素是大于 pivot 的,那么
                // right 不断的向左移动
                right--;
            }

            // 将此时的 nums[left] 赋值为 nums[right]
            // 执行完这个操作,比 pivot 小的这个元素被移动到了左侧
            nums[left] = nums[right];


            // 只有当遇到大于 pivot left 才停止移动
            // 此时,left 指向了一个大于 pivot 的元素,这个元素不在它该在的位置上
            while( left < right && nums[left] <= pivot){
                // 如果 left 指向的元素是小于 pivot 的,那么
                // left 不断的向右移动
                left++;
            }

            // 将此时的 nums[right] 赋值为 nums[left]
            // 执行完这个操作,比 pivot 大的这个元素被移动到了右侧
            nums[right] = nums[left];

        }

        // 此时,left 和 right 相遇,那么需要将此时的元素设置为 pivot
        // 这个时候,pivot 的左侧元素都小于它,右侧元素都大于它
        nums[left] = pivot;

        // 返回 left
        return left;

    }
}

算法的复杂度分析

空间复杂度 O(1),不需要额外空间。

时间复杂度的分析方法和快速排序类似。由于快速选择只需要递归一边的数组,时间复杂度小于快速排序,期望时间复杂度为 O(n),最坏情况下的时间复杂度为 O(n^2)。