买卖股票的最佳时机IV（ LeetCode 188 ）
一、题目描述
给定一个数组 prices ，其中 prices[i] 是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
二、题目解析
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
提示：
0 <= k <= 1000 <= prices.length <= 10000 <= prices[i] <= 1000
三、参考代码
1、Java 代码
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// https://www.algomooc.com
// 作者：程序员吴师兄
// 代码有看不懂的地方一定要私聊咨询吴师兄呀
// 买卖股票的最佳时机IV（ LeetCode 188 ）：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
if (prices == null || prices.length == 0) {
return 0;
}
// 先获取数组的长度
int length = prices.length;
// 设置一个三维数组 dp
// dp[i][k][b]
// i 表示天数，dp[i] 表示第 i 天的最大利润
// k 表示最多交易次数，每次交易包含买入和卖出，这里只在买入的时候将 k - 1
// 注意：【 k 表示最多交易次数，而不是实际交易次数，比如最多交易两次可能实际只交易一次】
// b 表示当前是否持有股票，取值为 0 和 1
// 其中 0 表示当前持有 0 份股票，即【不持有】股票
// 而 1 表示当前持有 1 份股票，即【持有】股票
// 在本题中，k 的值为 k，i 的取值范围为数组 prices 的长度，从 0 开始
int[][][] dp = new int[length][k + 1][2];
// 初始化
for (int j = 1; j <= k; j++) {
// dp[0][j][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 j 次交易的情况下可以获得的最大收益
dp[0][j][0] = 0;
// dp[0][j][1] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 1 份股票，且此时最多进行了 j 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 手上持有了 1 份股票，那肯定是执行了买入操作，然后又还没有卖出，那么钱都投入了股票中，利润就是负的，即为 -prices[0]
dp[0][j][1] = -prices[0];
}
// 动态规划：自底向上，即从前向后遍历，实现一个萝卜一个坑
for (int i = 1; i < length; i++) {
for ( int j = 1 ; j < k + 1 ; j++){
// 对于每个坑来说，都有两种状态
// 今天也就是第 i 天
// 1、今天【不持有】股票
// 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天卖出
// 昨天【持有】股票，今天卖出
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天不操作
// 昨天【不持有】股票，今天不操作
dp[i][j][0] = Math.max( dp[i - 1][j][0] , dp[i - 1][j][1] + prices[i] ) ;
// 2、今天【持有】股票
// 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天不操作
// 昨天【持有】股票，今天不操作
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天买入
// 昨天【不持有】股票，今天买入
dp[i][j][1] = Math.max( dp[i - 1][j][1] , dp[i - 1][j-1][0] - prices[i] ) ;
}
}
// for 循环结束后，dp 数组填充完毕
// dp[length - 1][k][0]
// 表示第 length - 1 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 k 次交易的情况下可以获得的最大收益
return dp[length - 1][k][0];
}
}
2、C++ 代码
class Solution {
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
if (prices.empty()) {
return 0;
}
// 先获取数组的长度
int length = prices.size();
// 设置一个三维数组 dp
// dp[i][k][b]
// i 表示天数，dp[i] 表示第 i 天的最大利润
// k 表示最多交易次数，每次交易包含买入和卖出，这里只在买入的时候将 k - 1
// 注意：【 k 表示最多交易次数，而不是实际交易次数，比如最多交易两次可能实际只交易一次】
// b 表示当前是否持有股票，取值为 0 和 1
// 其中 0 表示当前持有 0 份股票，即【不持有】股票
// 而 1 表示当前持有 1 份股票，即【持有】股票
// 在本题中，k 的值为 k，i 的取值范围为数组 prices 的长度，从 0 开始
vector<vector<vector<int> > > dp(length, vector<vector<int> >( k + 1 , vector<int>(2)));
// 初始化
for (int j = 1; j <= k; j++) {
// dp[0][j][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 j 次交易的情况下可以获得的最大收益
dp[0][j][0] = 0;
// dp[0][j][1] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 1 份股票，且此时最多进行了 j 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 手上持有了 1 份股票，那肯定是执行了买入操作，然后又还没有卖出，那么钱都投入了股票中，利润就是负的，即为 -prices[0]
dp[0][j][1] = -prices[0];
}
// 动态规划：自底向上，即从前向后遍历，实现一个萝卜一个坑
for (int i = 1; i < length; i++) {
for ( int j = 1 ; j < k + 1 ; j++){
// 对于每个坑来说，都有两种状态
// 今天也就是第 i 天
// 1、今天【不持有】股票
// 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天卖出
// 昨天【持有】股票，今天卖出
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天不操作
// 昨天【不持有】股票，今天不操作
dp[i][j][0] = max( dp[i - 1][j][0] , dp[i - 1][j][1] + prices[i] ) ;
// 2、今天【持有】股票
// 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天不操作
// 昨天【持有】股票，今天不操作
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天买入
// 昨天【不持有】股票，今天买入
dp[i][j][1] = max( dp[i - 1][j][1] , dp[i - 1][j-1][0] - prices[i] ) ;
}
}
// for 循环结束后，dp 数组填充完毕
// dp[length - 1][k][0]
// 表示第 length - 1 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 k 次交易的情况下可以获得的最大收益
return dp[length - 1][k][0];
}
};
3、Python 代码
class Solution:
def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
if not prices:
return 0
# 先获取数组的长度
length = len(prices)
# 设置一个三维数组 dp
# dp[i][k][b]
# i 表示天数，dp[i] 表示第 i 天的最大利润
# k 表示最多交易次数，每次交易包含买入和卖出，这里只在买入的时候将 k - 1
# 注意：【 k 表示最多交易次数，而不是实际交易次数，比如最多交易两次可能实际只交易一次】
# b 表示当前是否持有股票，取值为 0 和 1
# 其中 0 表示当前持有 0 份股票，即【不持有】股票
# 而 1 表示当前持有 1 份股票，即【持有】股票
# 在本题中，k 的值为 k，i 的取值范围为数组 prices 的长度，从 0 开始
# 越在前面的维度，总体上是越出现在后面
dp = [[[0] * 2 for _ in range( k + 1 )] for _ in range(length)]
# 初始化
for j in range( 1 , k + 1) :
# dp[0][j][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 j 次交易的情况下可以获得的最大收益
dp[0][j][0] = 0
# dp[0][j][1] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 1 份股票，且此时最多进行了 j 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 手上持有了 1 份股票，那肯定是执行了买入操作，然后又还没有卖出，那么钱都投入了股票中，利润就是负的，即为 -prices[0]
dp[0][j][1] = -prices[0]
# 动态规划：自底向上，即从前向后遍历，实现一个萝卜一个坑
for i in range( 1 ,length) :
for j in range( 1 ,k + 1) :
# 对于每个坑来说，都有两种状态
# 今天也就是第 i 天
# 1、今天【不持有】股票
# 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天卖出
# 昨天【持有】股票，今天卖出
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天不操作
# 昨天【不持有】股票，今天不操作
dp[i][j][0] = max( dp[i - 1][j][0] , dp[i - 1][j][1] + prices[i] )
# 2、今天【持有】股票
# 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天不操作
# 昨天【持有】股票，今天不操作
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天买入
# 昨天【不持有】股票，今天买入
dp[i][j][1] = max( dp[i - 1][j][1] , dp[i - 1][j-1][0] - prices[i] )
# for 循环结束后，dp 数组填充完毕
# dp[length - 1][k][0]
# 表示第 length - 1 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 k 次交易的情况下可以获得的最大收益
return dp[length - 1][k][0]
