买卖股票的最佳时机III( LeetCode 123 )
一、题目描述
给定一个数组,它的第 i
个元素是一支给定的股票在第 i
天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
示例 1:
输入:prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出:6
解释:在第 4 天(股票价格 = 0)的时候买入,在第 6 天(股票价格 = 3)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后,在第 7 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 8 天 (股票价格 = 4)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2:
输入:prices = [1,2,3,4,5]
输出:4
解释:在第 1 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天 (股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票,之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易,你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:
输入:prices = [7,6,4,3,1]
输出:0
解释:在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4:
输入:prices = [1]
输出:0
提示:
- 1 <= prices.length <= 105
- 0 <= prices[i] <= 105
二、题目解析
三、参考代码
1、Java 代码
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// 作者:程序员吴师兄
// 代码有看不懂的地方一定要私聊咨询吴师兄呀
// 买卖股票的最佳时机III( LeetCode 123 ):https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
// 先获取数组的长度
int length = prices.length;
// 设置一个三维数组 dp
// dp[i][k][b]
// i 表示天数,dp[i] 表示第 i 天的最大利润
// k 表示最多交易次数,每次交易包含买入和卖出,这里只在买入的时候将 k - 1
// 注意:【 k 表示最多交易次数,而不是实际交易次数,比如最多交易两次可能实际只交易一次】
// b 表示当前是否持有股票,取值为 0 和 1
// 其中 0 表示当前持有 0 份股票,即【不持有】股票
// 而 1 表示当前持有 1 份股票,即【持有】股票
// 在本题中,k 的值为 2,i 的取值范围为数组 prices 的长度,从 0 开始
int[][][] dp = new int[length][3][2];
// dp[0][0][0] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 0 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 此时,就是什么都没做,利润为 0
dp[0][0][0] = 0;
// dp[0][1][0] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 此时,就是什么都没做,利润为 0
dp[0][1][0] = 0;
// dp[0][1][1] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 1 份股票,且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 手上持有了 1 份股票,那肯定是执行了买入操作,然后又还没有卖出,那么钱都投入了股票中,利润就是负的,即为 -prices[0]
dp[0][1][1] = -prices[0];
// dp[0][2][0] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 2 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 此时,就是什么都没做,利润为 0
dp[0][2][0] = 0;
// dp[0][2][1] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 1 份股票,且此时最多进行了 2 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 手上持有了 1 份股票,那肯定是执行了买入操作,然后又还没有卖出,那么钱都投入了股票中,利润就是负的,即为 -prices[0]
dp[0][2][1] = -prices[0];
// 动态规划:自底向上,即从前向后遍历,实现一个萝卜一个坑
for (int i = 1; i < length; i++) {
// 对于每个坑来说,都有两种状态
// 今天也就是第 i 天
// 1、今天【不持有】股票,且此时最多进行了 2 次
// 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天卖出
// 昨天【持有】股票,今天卖出
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天不操作
// 昨天【不持有】股票,今天不操作
dp[i][2][0] = Math.max( dp[i - 1][2][0] , dp[i - 1][2][1] + prices[i] ) ;
// 2、今天【持有】股票,且此时最多进行了 2 次
// 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天不操作
// 昨天【持有】股票,今天不操作
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天买入
// 昨天【不持有】股票,今天买入
dp[i][2][1] = Math.max( dp[i - 1][2][1] , dp[i - 1][1][0] - prices[i] ) ;
// 3、今天【不持有】股票,且此时最多进行了 1 次
// 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天卖出
// 昨天【持有】股票,今天卖出
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天不操作
// 昨天【不持有】股票,今天不操作
dp[i][1][0] = Math.max( dp[i - 1][1][0] , dp[i - 1][1][1] + prices[i] ) ;
// 4、今天【持有】股票,且此时最多进行了 1 次
// 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天不操作
// 昨天【持有】股票,今天不操作
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天买入
// 昨天【不持有】股票,今天买入
dp[i][1][1] = Math.max( dp[i - 1][1][1] , dp[i - 1][0][0] - prices[i] ) ;
}
// for 循环结束后,dp 数组填充完毕
// dp[length - 1][1][0]
// 表示第 length - 1 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 2 次交易的情况下可以获得的最大收益
return dp[length - 1][2][0];
}
}
2、C++ 代码
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
// 先获取数组的长度
int length = prices.size();
// 设置一个三维数组 dp
// dp[i][k][b]
// i 表示天数,dp[i] 表示第 i 天的最大利润
// k 表示最多交易次数,每次交易包含买入和卖出,这里只在买入的时候将 k - 1
// 注意:【 k 表示最多交易次数,而不是实际交易次数,比如最多交易两次可能实际只交易一次】
// b 表示当前是否持有股票,取值为 0 和 1
// 其中 0 表示当前持有 0 份股票,即【不持有】股票
// 而 1 表示当前持有 1 份股票,即【持有】股票
// 在本题中,k 的值为 2,i 的取值范围为数组 prices 的长度,从 0 开始
vector<vector<vector<int> > > dp(length, vector<vector<int> >(3, vector<int>(2)));
// dp[0][0][0] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 0 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 此时,就是什么都没做,利润为 0
dp[0][0][0] = 0;
// dp[0][1][0] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 此时,就是什么都没做,利润为 0
dp[0][1][0] = 0;
// dp[0][1][1] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 1 份股票,且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 手上持有了 1 份股票,那肯定是执行了买入操作,然后又还没有卖出,那么钱都投入了股票中,利润就是负的,即为 -prices[0]
dp[0][1][1] = -prices[0];
// dp[0][2][0] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 2 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 此时,就是什么都没做,利润为 0
dp[0][2][0] = 0;
// dp[0][2][1] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 1 份股票,且此时最多进行了 2 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 手上持有了 1 份股票,那肯定是执行了买入操作,然后又还没有卖出,那么钱都投入了股票中,利润就是负的,即为 -prices[0]
dp[0][2][1] = -prices[0];
// 动态规划:自底向上,即从前向后遍历,实现一个萝卜一个坑
for (int i = 1; i < length; i++) {
// 对于每个坑来说,都有两种状态
// 今天也就是第 i 天
// 1、今天【不持有】股票,且此时最多进行了 2 次
// 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天卖出
// 昨天【持有】股票,今天卖出
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天不操作
// 昨天【不持有】股票,今天不操作
dp[i][2][0] = max( dp[i - 1][2][0] , dp[i - 1][2][1] + prices[i] ) ;
// 2、今天【持有】股票,且此时最多进行了 2 次
// 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天不操作
// 昨天【持有】股票,今天不操作
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天买入
// 昨天【不持有】股票,今天买入
dp[i][2][1] = max( dp[i - 1][2][1] , dp[i - 1][1][0] - prices[i] ) ;
// 3、今天【不持有】股票,且此时最多进行了 1 次
// 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天卖出
// 昨天【持有】股票,今天卖出
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天不操作
// 昨天【不持有】股票,今天不操作
dp[i][1][0] = max( dp[i - 1][1][0] , dp[i - 1][1][1] + prices[i] ) ;
// 4、今天【持有】股票,且此时最多进行了 1 次
// 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天不操作
// 昨天【持有】股票,今天不操作
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天买入
// 昨天【不持有】股票,今天买入
dp[i][1][1] = max( dp[i - 1][1][1] , dp[i - 1][0][0] - prices[i] ) ;
}
// for 循环结束后,dp 数组填充完毕
// dp[length - 1][1][0]
// 表示第 length - 1 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 2 次交易的情况下可以获得的最大收益
return dp[length - 1][2][0];
}
};
3、Python 代码
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
# 先获取数组的长度
length = len(prices)
# 设置一个三维数组 dp
# dp[i][k][b]
# i 表示天数,dp[i] 表示第 i 天的最大利润
# k 表示最多交易次数,每次交易包含买入和卖出,这里只在买入的时候将 k - 1
# 注意:【 k 表示最多交易次数,而不是实际交易次数,比如最多交易两次可能实际只交易一次】
# b 表示当前是否持有股票,取值为 0 和 1
# 其中 0 表示当前持有 0 份股票,即【不持有】股票
# 而 1 表示当前持有 1 份股票,即【持有】股票
# 在本题中,k 的值为 2,i 的取值范围为数组 prices 的长度,从 0 开始
# 越在前面的维度,总体上是越出现在后面
dp = [[[0] * 2 for _ in range(3)] for _ in range(length)]
# dp[0][0][0] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 0 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 此时,就是什么都没做,利润为 0
dp[0][0][0] = 0
# dp[0][1][0] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 此时,就是什么都没做,利润为 0
dp[0][1][0] = 0
# dp[0][1][1] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 1 份股票,且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 手上持有了 1 份股票,那肯定是执行了买入操作,然后又还没有卖出,那么钱都投入了股票中,利润就是负的,即为 -prices[0]
dp[0][1][1] = -prices[0]
# dp[0][2][0] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 2 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 此时,就是什么都没做,利润为 0
dp[0][2][0] = 0
# dp[0][2][1] 表示在第 0 天结束时,即收盘后,手上持有 1 份股票,且此时最多进行了 2 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 手上持有了 1 份股票,那肯定是执行了买入操作,然后又还没有卖出,那么钱都投入了股票中,利润就是负的,即为 -prices[0]
dp[0][2][1] = -prices[0]
# 动态规划:自底向上,即从前向后遍历,实现一个萝卜一个坑
for i in range( 1 ,length) :
# 对于每个坑来说,都有两种状态
# 今天也就是第 i 天
# 1、今天【不持有】股票,且此时最多进行了 2 次
# 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天卖出
# 昨天【持有】股票,今天卖出
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天不操作
# 昨天【不持有】股票,今天不操作
dp[i][2][0] = max( dp[i - 1][2][0] , dp[i - 1][2][1] + prices[i] )
# 2、今天【持有】股票,且此时最多进行了 2 次
# 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天不操作
# 昨天【持有】股票,今天不操作
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天买入
# 昨天【不持有】股票,今天买入
dp[i][2][1] = max( dp[i - 1][2][1] , dp[i - 1][1][0] - prices[i] )
# 3、今天【不持有】股票,且此时最多进行了 1 次
# 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天卖出
# 昨天【持有】股票,今天卖出
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天不操作
# 昨天【不持有】股票,今天不操作
dp[i][1][0] = max( dp[i - 1][1][0] , dp[i - 1][1][1] + prices[i] )
# 4、今天【持有】股票,且此时最多进行了 1 次
# 第 i - 1 天【持有】股票,第 i 天不操作
# 昨天【持有】股票,今天不操作
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票,第 i 天买入
# 昨天【不持有】股票,今天买入
dp[i][1][1] = max( dp[i - 1][1][1] , dp[i - 1][0][0] - prices[i] )
# for 循环结束后,dp 数组填充完毕
# dp[length - 1][1][0]
# 表示第 length - 1 天结束时,即收盘后,手上持有 0 份股票,且此时最多进行了 2 次交易的情况下可以获得的最大收益
return dp[length - 1][2][0]