买卖股票的最佳时机（ LeetCode 121 ）
一、题目描述
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示：
- 1 <= prices.length <= 105
- 0 <= prices[i] <= 104
二、题目解析
三、参考代码
1、Java 代码
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// 作者：程序员吴师兄
// 代码有看不懂的地方一定要私聊咨询吴师兄呀
// 买卖股票的最佳时机（ LeetCode 121 ）：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
// 先获取数组的长度
int length = prices.length;
// 设置一个三维数组 dp
// dp[i][k][b]
// i 表示天数，dp[i] 表示第 i 天的最大利润
// k 表示最多交易次数，每次交易包含买入和卖出，这里只在买入的时候将 k - 1
// 注意：【 k 表示最多交易次数，而不是实际交易次数，比如最多交易两次可能实际只交易一次】
// b 表示当前是否持有股票，取值为 0 和 1
// 其中 0 表示当前持有 0 份股票，即【不持有】股票
// 而 1 表示当前持有 1 份股票，即【持有】股票
// 在本题中，k 的值为 1，i 的取值范围为数组 prices 的长度，从 0 开始
int[][][] dp = new int[length][2][2];
// dp[0][0][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 0 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 此时，就是什么都没做，利润为 0
dp[0][0][0] = 0;
// dp[0][1][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 此时，就是什么都没做，利润为 0
dp[0][1][0] = 0;
// dp[0][1][1] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 1 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 手上持有了 1 份股票，那肯定是执行了买入操作，然后又还没有卖出，那么钱都投入了股票中，利润就是负的，即为 -prices[0]
dp[0][1][1] = -prices[0];
// 动态规划：自底向上，即从前向后遍历，实现一个萝卜一个坑
for (int i = 1; i < length; i++) {
// 对于每个坑来说，都有两种状态
// 今天也就是第 i 天
// 1、今天【不持有】股票
// 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天卖出
// 昨天【持有】股票，今天卖出
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天不操作
// 昨天【不持有】股票，今天不操作
dp[i][1][0] = Math.max( dp[i - 1][1][0] , dp[i - 1][1][1] + prices[i] ) ;
// 2、今天【持有】股票
// 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天不操作
// 昨天【持有】股票，今天不操作
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天买入
// 昨天【不持有】股票，今天买入
dp[i][1][1] = Math.max( dp[i - 1][1][1] , dp[i - 1][0][0] - prices[i] ) ;
System.out.print( i + " : " + dp[i][1][0] + "\n");
System.out.print( i + " : " + dp[i][1][1] + "\n");
}
// for 循环结束后，dp 数组填充完毕
// dp[length - 1][1][0]
// 表示第 length - 1 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
return dp[length - 1][1][0];
}
}
2、C++ 代码
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
// 先获取数组的长度
int length = prices.size();
// 设置一个三维数组 dp
// dp[i][k][b]
// i 表示天数，dp[i] 表示第 i 天的最大利润
// k 表示最多交易次数，每次交易包含买入和卖出，这里只在买入的时候将 k - 1
// 注意：【 k 表示最多交易次数，而不是实际交易次数，比如最多交易两次可能实际只交易一次】
// b 表示当前是否持有股票，取值为 0 和 1
// 其中 0 表示当前持有 0 份股票，即【不持有】股票
// 而 1 表示当前持有 1 份股票，即【持有】股票
// 在本题中，k 的值为 1，i 的取值范围为数组 prices 的长度，从 0 开始
vector<vector<vector<int> > > dp(length, vector<vector<int> >(2, vector<int>(2)));
// dp[0][0][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 0 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 此时，就是什么都没做，利润为 0
dp[0][0][0] = 0;
// dp[0][1][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 此时，就是什么都没做，利润为 0
dp[0][1][0] = 0;
// dp[0][1][1] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 1 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
// 手上持有了 1 份股票，那肯定是执行了买入操作，然后又还没有卖出，那么钱都投入了股票中，利润就是负的，即为 -prices[0]
dp[0][1][1] = -prices[0];
// 动态规划：自底向上，即从前向后遍历，实现一个萝卜一个坑
for (int i = 1; i < length; i++) {
// 对于每个坑来说，都有两种状态
// 今天也就是第 i 天
// 1、今天【不持有】股票
// 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天卖出
// 昨天【持有】股票，今天卖出
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天不操作
// 昨天【不持有】股票，今天不操作
dp[i][1][0] = max( dp[i - 1][1][0] , dp[i - 1][1][1] + prices[i] ) ;
// 2、今天【持有】股票
// 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天不操作
// 昨天【持有】股票，今天不操作
// vs
// 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天买入
// 昨天【不持有】股票，今天买入
dp[i][1][1] = max( dp[i - 1][1][1] , dp[i - 1][0][0] - prices[i] ) ;
}
// for 循环结束后，dp 数组填充完毕
// dp[length - 1][1][0]
// 表示第 length - 1 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
return dp[length - 1][1][0];
}
};
3、Python 代码
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
# 先获取数组的长度
length = len(prices)
# 设置一个三维数组 dp
# dp[i][k][b]
# i 表示天数，dp[i] 表示第 i 天的最大利润
# k 表示最多交易次数，每次交易包含买入和卖出，这里只在买入的时候将 k - 1
# 注意：【 k 表示最多交易次数，而不是实际交易次数，比如最多交易两次可能实际只交易一次】
# b 表示当前是否持有股票，取值为 0 和 1
# 其中 0 表示当前持有 0 份股票，即【不持有】股票
# 而 1 表示当前持有 1 份股票，即【持有】股票
# 在本题中，k 的值为 1，i 的取值范围为数组 prices 的长度，从 0 开始
# 越在前面的维度，总体上是越出现在后面
dp = [[[0] * 2 for _ in range(2)] for _ in range(length)]
# dp[0][0][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 0 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 此时，就是什么都没做，利润为 0
dp[0][0][0] = 0
# dp[0][1][0] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 此时，就是什么都没做，利润为 0
dp[0][1][0] = 0
# dp[0][1][1] 表示在第 0 天结束时，即收盘后，手上持有 1 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
# 手上持有了 1 份股票，那肯定是执行了买入操作，然后又还没有卖出，那么钱都投入了股票中，利润就是负的，即为 -prices[0]
dp[0][1][1] = -prices[0]
# 动态规划：自底向上，即从前向后遍历，实现一个萝卜一个坑
for i in range( 1 ,length) :
# 对于每个坑来说，都有两种状态
# 今天也就是第 i 天
# 1、今天【不持有】股票
# 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天卖出
# 昨天【持有】股票，今天卖出
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天不操作
# 昨天【不持有】股票，今天不操作
dp[i][1][0] = max( dp[i - 1][1][0] , dp[i - 1][1][1] + prices[i] )
# 2、今天【持有】股票
# 第 i - 1 天【持有】股票，第 i 天不操作
# 昨天【持有】股票，今天不操作
# vs
# 第 i - 1 天【不持有】股票，第 i 天买入
# 昨天【不持有】股票，今天买入
dp[i][1][1] = max( dp[i - 1][1][1] , dp[i - 1][0][0] - prices[i] )
# for 循环结束后，dp 数组填充完毕
# dp[length - 1][1][0]
# 表示第 length - 1 天结束时，即收盘后，手上持有 0 份股票，且此时最多进行了 1 次交易的情况下可以获得的最大收益
return dp[length - 1][1][0]
